De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Binomiaalcoefficienten

Hallo,

Uit mijn boek moet ik bewijzen dat voor alle n als element van geldt:

$
\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right)} = 2^n
$

Nu heb ik geprobeerd dit te bewijzen met behulp van volledige inductie, maar dit komt niet uit. Van mijn boek word ik niet veel wijzer en ik kan niets vergelijkbaars vinden op internet. Weet u misschien hoe ik dit kan oplossen?
Alvast bedankt!

Margot
Student universiteit - zaterdag 22 september 2012

Antwoord

Ga uit van het binomium van Newton:

$
\begin{array}{l}
(a + b)^n = \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
0 \\
\end{array}} \right)b^n + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
1 \\
\end{array}} \right)ab^{n - 1} + ... + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{n - 1} \\
\end{array}} \right)a^{n - 1} b + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
n \\
\end{array}} \right)a^n \\
neem\,\,a = b = 1 \\
\left( {1 + 1} \right)^n = \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
0 \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
1 \\
\end{array}} \right) + ... + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{n - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
n \\
\end{array}} \right) \\
2^n = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right)} \\
\end{array}
$

..en meer moet het niet zijn.

Zie ook Wat is het verband tussen de driehoek van Pascal en het binomium van Newton?

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 22 september 2012



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3