De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Galoistheorie

Goedemiddag!
In de categorie 'galoistheorie' heb ik de volgende vraag. Gegeven is het lichaam: L=Q(i,Sqrt[a+bi]). Hierin zijn a,b breuken en is a+bi geen kwadraat in Q(i).
Te bewijzen: als L/Q galois is, bestaat er een c in Q zodat a2+b2=c2.
De hint die ik heb, is: als L/Q galois is, bevat L ook Sqrt[a-bi]. Ik heb geprobeerd te bedenken waarom dit zo is, maar het lukt niet. Ik weet dat een irreducibel polynoom met één nulpunt in L splijt over L. Ik wilde een irreducibel polynoom opstellen in Q(i)$\overline x$ met Sqrt[a+bi] en Sqrt[a-bi] als nulpunten, maar loop vast. Is er misschien een andere manier om in te zien waarom deze hint klopt?
Alvast bedankt!

Marise
Student universiteit - maandag 13 augustus 2012

Antwoord

Je kunt narekenen dat $\sqrt{a+bi}$ een nulpunt is van $(X^2-a)^2+b^2$. Het gegeven dat $\sqrt{a+bi}$ niet in $\mathbb{Q}(i)$ ligt impliceert dat dat polynoom irreducibel is; het is dus het minimumpolynoom van $\sqrt{a+bi}$.
Het polynoom splijt dus over $L$ en $\sqrt{a-bi}$ is een van de nulpunten.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 15 augustus 2012



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3