De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Bewijs volledige inductie

Hallo, ik moet als opdracht het volgende bewijzen d.m.v. volledige inductie:

diag(3, -4, 0, 2)]^n = diag (3^n, (-4)^n, 0, 2^n)

Als ik het goed heb is dit een diagonaalmatrix dus:

[ 3 0 0 0 ]^n = [ 3^n 0 0 0 ]
[ 0 -4 0 0 ] [ 0 (-4)^n 0 0 ]
[ 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 ]
[ 0 0 0 2 ] [ 0 0 0 2^n ]

De determinant van een diagonaalmatrix is het product van de getallen op de diagonaal dus:

(3*(-4)*0*2)^n = (3^n*(-4)^n*0*2^n)

Dit geldt toch voor alle n aangezien 0 het opslorpend element is? (altijd 0=0)
Maar toch denk ik dat ik iets fout doe, zie jij wat?

Alvast bedankt!

Anonie
3de graad ASO - zondag 22 januari 2012

Antwoord

Beste Anoniem (?),

Wat je zegt is niet fout, maar ook niet gevraagd. Die determinant zal altijd 0 zijn, maar er is niets over die determinant gevraagd. Wat je moet bewijzen is dat voor elke n het volgende geldt:
$${\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3 & 0 & 0 & 0 \\
0 & { - 4} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{array}} \right)^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{3^n}} & 0 & 0 & 0 \\
0 & {{{\left( { - 4} \right)}^n}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & {{2^n}} \\
\end{array}} \right)$$
Via inductie gaat dat als volgt:
- controleer de gelijkheid voor n = 1 (ga na, dat klopt eenvoudig),
- veronderstel dat de gelijkheid geldt voor een zekere n,
- bewijs dat de gelijkheid dan ook geldt voor n+1.

Met andere woorden, ga uit van de gelijkheid die ik hierboven al gaf voor een vaste n en bepaal dan An+1 als matrixproduct A.An waarbij je voor An het rechterlid in bovenstaande gelijkheid kan gebruiken.

mvg,
Tom

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 22 januari 2012



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3