WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Cayley-Hamilton

Dit is een reactie op vraag 66531

Ik vind daar niets terug dat ik kan gebruiken. Kan u mij verder helpen?
Elke
Student universiteit België - dinsdag 10 januari 2012

Antwoord

De sleutelzin is deze: When the ring is a field, the Cayley–Hamilton theorem is equivalent to the statement that the minimal polynomial of a square matrix divides its characteristic polynomial.

Het bewijs hiervan steunt op de volgende feiten:

1. De stelling van Cayley Hamilton die zegt dat P_A(A)=0, als P_A de karakteristieke veelterm van A is
2. de verzameling I_A van alle polynomen p die aan p(A)=0 voldoen vormen een ideaal in de ring R[ X ] en P_A behoort (kennelijk) tot dat ideaal
3. als R een lichaam is dan is R[ X ] een hoofdideaalring
4. dus I_A wordt voortgebracht door een uniek monisch polynoom q_A, dat is (per definitie) het minimale polynoom van A; aangezien P_A tot I_A behoort is P_A dus een veelvoud van q_A

Zoals je ziet: dat vergt nogal wat algebra.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 10 januari 2012