De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Begrensd en extremum

Opgave
Onderstel dat de functie f continu is in en dat de limiet van f(x) voor x gaande naar -∞ en voor x gaande naar +∞ nul is. Toon aan dat f begrensd is op (1) en een extremum bereikt (2).

(1) f continu in = f continu in elk gesloten interval = f begrensd in elk gesloten interval = f begrensd.

(2) Deze tweede probeerde ik op te lossen met afgeleiden, maar ik kan niets zeggen over de afleidbaarheid. Als ik de stelling van WeierstraŖ wil toepassen is er het probleem dat ik dit enkel kan toepassen op een gesloten interval.

Tom Ve
Student universiteit BelgiŽ - donderdag 29 december 2011

Antwoord

(1) fout argument: de laatste pijl klopt niet want x2 is begrensd op elk gesloten begrensd interval maar niet op heel .
Je hebt de gegeven voorwaarde nodig: kies M zů dat |f(x)|1 voor alle x met xM en gebruik dan dat f begrensd is op [-M,M] om een bovengrens voor alle waarden van |f(x)| te bepalen.
(2) Gebruik een wat verfijndere versie van het bovenstaande argument: neem aan dat er een a is met f(a) ongelijk aan nul (als f constant nul is zijn we klaar)
en neem nu M zů dat voor |x|M geldt dat |f(x)||f(a)|/2. Bewijs nu dat het maximum van |f(x)| op [-M,M] ook het maximum van |f(x)| op heel is.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 29 december 2011



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3