De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Recursieve betrekking

Hallo,
Ik heb een vraag over de volgende recursierelatie:

xn = Axn + B

met algemene oplossing:

xn = An(x0-B/1-A) + B/1-A als A1

(Als A = 1 dan triviaal: xn = x0 + nB)

1) Nu is mijn vraag: Hoe kan men deze algemene oplossing vinden? Heb al wat geprobeerd met inductie en limieten maar kom niet echt verder.

2) Is er een algemene strategie om een oplossing van een recursierelatie te vinden in termen van x0 en n (als deze bestaat)?

Groeten,
Thomas

Thomas
Student universiteit - donderdag 10 november 2011

Antwoord

De recursierelatie luidt anders dan u hebt opgeschreven, namelijk:

xn+1 = Axn + B.

Dus x1 = Ax0 + B en

x2 = Ax1 + B = A(Ax0 + B)+B =
A2x0 + AB + B = A2x0 +(A+1)B, en

x3 = Ax2 + B = A(A2x0 +(A+1)B)+B = A3x0 + A(A+1)B + B = A3x0 + (A2+A+1)B

Bereken nu zelf x4 en daarna eventueel nog x5.

U ziet weldra (en kunt met inductie bewijzen) dat

xn = Anx0 + (An-1+An-2+..+A+1)B = Anx0 + B(An-1)/(A-1), en dat kan men eenvoudig herleiden tot de oplossing die u geeft.

Een algemene strategie voor het oplossen van een recursierelatie kan ik u niet geven, maar het loont altijd de moeite om eerst de eerste termen uit te rekenen.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 11 november 2011



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3