De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Modulo rekenen met restklassen

Ik kan bewijzen:
ALS ha = ka (mod p) (met p = priem, h en k tussen 0 en p, a willekeurig natuurlijk getal)
DAN h = k (mod p) en zelfs: h = k (omdat k nooit groter kan zijn dan p)

Maar ik moet bewijzen:
Restklassen van a,2a,3a,4a, .. , (p-1)a (met dus modulo p) GELIJK AAN restklassen 1,2,3,..,p-1 (modulo p). Nouja, die laatste restklassen zijn dus ook gelijk aan 1,2,3,..,p-1 want die zijn allemaal relatief priem met p.

Volgens mij is de link hiertussen heel eenvoudig, op verschillende websites werd dit als bewijs neergezet, maar ik zie het nog even niet. Waarom ALS geldt ha = ka (mod p) -- h=k (mod p) of h=k, DAN OOK die restklassen gelijk ??

Jop Sc
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 19 januari 2011

Antwoord

Het argument is een beetje subtiel.
Ten eerste: wat niet gevraagd wordt is te bewijzen dat de restklasse van ka precies de restklassen van k is.
Wat wel gevraagd wordt is te bewijzen dat de verzameling restklassen {a, 2a, 3a, ..., (p-1)a} gelijk is aan de verzameling restklassen {1, 2, 3, ..., p-1}.
Welnu, neem een k en neem de rest bij deling van ka door p, noem die lk.
Dan is de restklassen van ka dezelfde als die van lk en wat je bewezen hebt zegt dat verschillende k's verschillende lk's opleveren.
De verzameling {l1, l2, l3, ..., lp-1} heeft dus p-1 elementen en is dus gelijk aan {1,2,3, ..., p-1}.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 24 januari 2011



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3