De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Re: Eigenfuncties van integraalvergelijkingen

 Dit is een reactie op vraag 63881 
Ik ben inderdaad de f(t) vergeten, het moet zijn

(1) f(x)=x2+k·INT[f(t)(1+5xt)]dt

Ik heb nu ook de juiste eigenfuncties gevonden. Beide eigenfuncties behoren bij eigenwaarden zijn oplossingen van de integraalvergelijking.

Om te bepalen wanneer de Neumannreeks convergeert heb ik alleen de eigenwaarden nodig want als m een eigenwaarde is van A dan is de inverse van m een karakteristieke waarde. Als notatie gebruik ik k=m-1. Dus in dit geval zijn de karakteristieke waarden k1=2/5 en k2=6. Deze karakteristieke waarde komt voor in de Neumannreeks:

f(x)=SOM[(kn)·((Kn)g(x))]

waar ((Kn)g(x) wordt gegeven door een recurrente relatie waar geen k in voorkomt, ((Kn)g(x) hoeft hier niet berekend te worden.

In dit vraagstuk moet ik de Neumannreeks als functie van k beschouwen en dan kijken wanneer de Neumannreeks convergeert. Maar dan volgt denk ik gelijk dat de reeks convergeert voor alle k met |k|1. Dus de convergentiestraal R=1. Dus in dit geval convergeert de reeks alleen voor voor de karakteristieke waarde k1=2/5.

Is dit correct?

Groeten,

Viky

Viky
Student universiteit - donderdag 30 december 2010

Antwoord

De norm van de operator K (ten opzichte van de maimumnorm) is 7/2, dus de reeks convergeert zeker voor |k|2/7.
Maar omdat het beeld van K uit polynomen van graad =1 bestaat kun je, met behulp van de karakteristieke waarden (5/2 en 1/6) en eigenfuncties (g1=3-5t
en g2=1+3t), eerst schrijven Kg=c*g1+d*g2; voor g krijg je als algemene term in de Neumann-reeks: kn*(c*(5/2)ng1+d*(1/6)ng2). Die convergeert dus als |k|2/5.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 9 januari 2011



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3