De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Eigenfuncties van integraalvergelijkingen

Beste wisfaq,

Ik heb de volgende integraalvergelijking

f(x)=(x2)+kINT[1+5xt]dt van 0 tot 1.

De integraalkern is K(x,t)=1+5xt en is separabel.
k is hier een karakteristieke waarde.

Ik wil de convergentiestraal bepalen van de Neumannreeks (als functie van k). Maar de Neumannreeks moet niet uitgerekend worden. Ik begrijp niet hoe ik dit moet doen.

Neumannreeks: SOM[(kn)(Kn)]=(id-kK)-1, de som is oneindig en id is de identieke afbeelding van een Hilbertruimte H naar H.

Ik heb in ieder geval de eigenwaarden bepaald, de karakteristieke waarden k zijn hier dan de inverses van.

We kunnen de kern schrijven als

K(x,t)=g1(t)h1(x)+g2(t)h2(x)=11+5tx.

A is de matrix met elementen

gi,hq=INT[gi(t)hq(t)]dt, van 0 tot 1.

Dus a11=1, a12=1/2, a21=5/2 en a22=5/3.

Het karakteristiek polynoom is hier
det(A-kI)=p(k)=(k2)-(8/3)k+5/12. De eigenwaarden zijn dus
m1=(4/3)+1/3sqrt(6) en m2=(4/3)-1/3sqrt(6).

De karakteristieke waarden zijn dus k1=(m1)-1 en k2=(m2)-1.

Vraag1: Kan ik nu al met deze informatie de convergentiestraal bepalen?

Ik wil ook de eigenfuncties bepalen omdat ik dan deze integraalvergelijking op kan lossen, maar ik stuit hierbij op problemen:

Ik wil oplossen B1=[A-m1I|0], dit is de matrix met elementen b11=(-1/3-1/3sqrt(6)), b12=1/2, b21=5/2 en b22=1/3-1/3sqrt(6).
Het lukt mij niet om deze matrix in zo'n vorm te brengen dat ik overhoudt b11=1, b12=c (een constante), b21=b22=0, zodat mijn eigenvector (hier horizontaal geschreven) gelijk is aan v=r[-c,1] voor een scalar r. Dus ik heb het stelsel uitgeschreven dat ik moet oplossen:

(-1-sqrt(6))x1+(3/2)x2=0 vergelijking (1)
(15/2)x1+(1-sqrt(6))x2=0 vergelijking (2).

Maar uit (1) volgt dat x1=(-3/10)(1-sqrt(6))x2, dit substitueren in (2) geeft dat x2 nul moet zijn, waaruit weer volgt dat x1 ook nul is.

Vraag2: Maak ik hier nu een fout of is de enige eigenvector hier de nulvector?

Groeten,

Viky

Viky
Student universiteit - maandag 27 december 2010

Antwoord

Je integraalvergelijking ziet er onvolledig uit: de functie f is aan de rechterkant afwezig. Het feit dat je de matrix A en zijn eigenwaarden bepaald hebt suggereert dat er een stelling in je boek staat waarmee je uit die eigenwaarden de convergentiestraal kunt halen; ik zou die nog eens goed lezen.
Verder kloppen je eigenwaarden niet: ik kom op 15/6 en 1/6.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 28 december 2010
 Re: Eigenfuncties van integraalvergelijkingen 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3