De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Limieten

Hoe bewijs ik de productregel voor limieten.

( de som en verschil zijn vrij eenvoudig mbv driehoeksongelijkheid)

mvg

Roland
Student universiteit - zaterdag 11 december 2010

Antwoord

Als je uitgaat van Limf(x) = L en Limg(x) = M (steeds in de onderstelling dat x ®a, wat ik vanaf hier verder weglaat), dan moeten we bij een gegeven e0 een d0 vinden , zo dat |f(x).g(x) - L.M|e zodra 0|x-a|d.
Schrijf |f(x).g(x) - L.M| als |f(x).g(x) - L.g(x) + L.g(x) - L.M| en daarmee komt de driehoeksongelijkheid in beeld.
Je krijgt: |f(x).g(x) - L.M| = |{f(x)-L}.g(x) + L.{g(x) - M}|
|{f(x) - L}.g(x)| + |L.{g(x) - M}| = |f(x) -L|.|g(x)| + |L|.|g(x) - M|.

Nu probeer je om elk van de twee termen aan de rechterkant kleiner dan 1/2e te krijgen zodra 0|x-a|d.

Omdat Limg(x) = M, is er een positieve d1 te vinden zodat |g(x) - M| e/2(1+|L|) wanneer 0|x-a|d1
Maar er is ook een positieve d2 te vinden zó dat wanneer 0|x-a|d2 geldt dat |g(x) - M| 1.
Dan is |g(x)| = |g(x) - M + M| |g(x) - M | + |M| 1 + |M|

Uit het gegeven dat Limf(x) = L volgt dat je een positieve d3 kunt vinden waarvoor geldt dat |f(x) - L| e/2(1+|M|) als 0|x-a|d3.
Als je nu van de drie delta's de kleinste neemt en die verder d noemt, dan heb je zodra 0|x-a|d dat
|f(x).g(x) - L.M| e/2(1+|M|).(1+|M|) + |L|. e/2(1+|L|) 1/2e + 1/2e = e waarmee de zaak rond is.




MBL
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 13 december 2010



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3