De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Venn-diagram

Hai!
Ik heb een vraag of dit klopt.
Ik bedoel is het genoeg?
Bewijs dat A$\cup$B=A$\cap$B als en alleen als A=B
1. Als A$\cup$B=A$\cap$B dan A=B.
2. Als A=B dan A$\cup$B=A$\cap$B.

1. Laat x$\in$((A$\cup$B)=(A$\cap$B)) dus x$\in$A$\cup$B en x$\in$A$\cap$B. En dus is x$\in$A en x$\in$B Dus x$\in$A=B

2. We nemen aan dat A=B. Dus x$\in$A en x$\in$B. Aangezien x$\in$A=B is, is AB en BA dus is A$\cup$B=A$\cap$B.
Q.E.D

Kan dit ???

Alvast bedankt!

Treint
Student universiteit - zondag 7 november 2010

Antwoord

Laten we eerst uitgaan van de veronderstelling A = B.
Dan is A$\cup$B = A$\cup$A = A en A$\cap$B = A$\cap$A = A zodat A$\cup$B = A$\cap$B

Nu andersom: we gaan dus uit van de veronderstelling dat de doorsnede en de vereniging van A en B gelijk zijn.
Kies een element x$\in$A. Dan geldt per definitie x$\in$A$\cup$B dus geldt dan ook x$\in$A$\cap$B, ds x$\in$B waaruit we concluderen dat AB.
Volmaakt analoog geldt: als x$\in$B dan ook x$\in$A, zodat BA.
Uit beide resultaten volgt dus A = B.

Je eigen eerste bewijs eindigt vreemd. Uit x$\in$A en x$\in$B trek je m.i. de conclusie dat A = B, maar je kunt slechts concluderen dat x$\in$A$\cap$B.
Maar dat stond al vast!

MBL
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 8 november 2010



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2023 WisFaq - versie 3