De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Bepalen of een verzameling een lineaire deelruimte is

Hoe kan ik nu het best efficient bepalen of een bepaalde verzameling een lineaire deelruimte is?

Stel ik heb de verzameling A = { ( a, b, a - b) | a,b in R }
Allereerst vul ik voor a en b 0 in, om te bepalen of de 0-vector in de verzameling zit.
Dat is zo, (0,0,0) is onderdeel van A.
Vervolgens is het de bedoeling dat wat voor waarde ik ook van a en/of b invul, de vector in hetzelfde vlak is.
Klopt dit?
In het geval dat R2, bijvoorbeeld A = { (2a , b) | a, b in R} is het dus de bedoeling dat ten eerste a=0 en b=0 onderdeel is van A, maar dat verder, voor elke waarde a,b, de vector op 1 lijn ligt.
Is dit niet zo is de verzameling geen lineaire deelruimte.
Klopt dit?

Maar wat als, bijvoorbeeld, R5? Ik kan me geen meetkundige voorstelling maken van zo'n deelruimte, hoe kan ik dat het beste aanpakken?

Pieter
Student universiteit - zondag 3 oktober 2010

Antwoord

In uw eerste voorbeeld, zijn de vectoren van A precies de lineaire combinaties a(1,0,1) + b(0,1,-1) van (1,0,1) en (0,1,-1). Daar deze twee vectoren lineair onafhankelijk zijn, vindt men een tweedimensionale lineaire deelruimte (opgespannen door die twee vectoren).
Formeel bewijst men dat A een lineaire deelruimte is van 3, door te bewijzen dat de 0-vector in A zit en, met twee elementen X en Y van A, ook elke lineaire combinatie lX + mY.
In uw tweede voorbeeld is A de tweedimensionale lineaire deelruimte opgespannen door (2,0) en (0,1). Deze valt samen met 2.
In 5 is bijvoorbeeld A={(3a+c,b,a+b+c,2b-c,3c)/a,b,c in } de driedimensionale lineaire deelruimte opgespannen door (3,0,1,0,0),(0,1,1,2,0) en (1,0,1,-1,3).
Het gaat er dus om dat er in elke co÷rdinaat een veelterm in a,b,c,d,.. staat waarvan alle termen graad 1 hebben. Zo'n veelterm kan bijvoorbeeld zijn 3a-2d of a+b+d, maar niet 2a+3 of b2+d of ac-d.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 19 oktober 2010



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3