De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

De norm van een operator

Beste wisfaq,

Ik heb de volgende operator T:H-C gegeven door
T(x)=SOM[(xn)/n], van n=1 tot oneindig.

C zijn de complexe getllen. H is de Hilbertruimte l2(C) van rijtjes x=(x1,x2,...) met xi een element in C, het inwendig product in H wordt gegeven door x,y=SOM[(x'n)(yn)], van n=1 tot oneindig. Notatie: x'n staat voor de geconjugeerde van xn.

Ik wil graag de norm bepalen van de operator T m.b.v. de volgende definitie

||T||_H=sup ||T(x)||_C, waarbij de norm wordt genomen over alle x=(x1,x2,..) in H met ||x||_H=1.

Ik ben vastgelopen in de afschatting van ||T(x)||.
Ik ben eerst gaan kijken wat het betekent als ||x||=1. Er geldt dat

||x||2=x,x=SOM[(x'n)(xn)], dus ik moet kijken naar alle x in H zodat SOM[|xn|2]=1. Is dit correct?

Nu ga ik ||T(x)|| afschatten, x=(x1,x2,...), xi in C:

||T(x)||_C=||SOM[(xn)/n]=||x1+1/2x2+..||

Nu weet ik niet zeker hoe ik verder moet en hoe ik ||x|| kan gebruiken bij de afschatting. Ik denk dat ik x1+1/2x2+... moet schrijven als SOM[(ak)/k]+iSOM[(bk)/k], waar dus (xk)/k=(ak)+i(bk). Dan krijg ik

||T(x)||=||SOM[(ak)/k]+iSOM[(bk)/k]||.

Dit is een norm in C, er staat eigenlijk ||A+iB||, met A=SOM[(ak)/k] en B=SOM[(bk)/k].

De norm in C van van een complex getal a+ib is (a2+b2)^1/2. Dus in mijn geval krijg ik ||A+iB||=(A2+B2)^1/2. Ik begrijp niet hoe ik nu verder moet?

Vriendelijke groeten,

Viky

Viky
Student universiteit - woensdag 22 september 2010

Antwoord

Het lijkt mij dat T de functionaal is bepaald door het element (1,1/2,1/3,1/4,...) van H; in dat geval is de norm van T hetzelfde als de norm van dat die vector en die is p/wortel(6).

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 22 september 2010



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3