De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Meetkundige rij en de rede berekenen

Beste,

Ik heb hier een opdracht liggen over een meetkundige rij. Ik heb een aantal gegevens en moet een aantal onbekende zaken uitrekenen.

Gegeven is:
U1 = -3 (eerste term)
n = 12 (aantal termen)
Sn = -797160 (som van de termen)

Gevraagd is: q (de rede) & Un (expliciet voorschrift)

De uitkomst zou q = 3 en Un = -5031441 moeten zijn.

De formules die ik denk nodig te hebben:

Un = U1 . qn-1

Sn = U1(1-qn)/(1-q)

Eerst zou ik de formule van Sn gebruiken, daaruit zou ik mijn q moeten kunnen halen en daarna zou ik Un moeten kunnen berekenen. Nu, ik zit een beetje vast met die q12, ik weet niet goed hoe ik daar vanaf geraak en hoe ik uiteindelijk mij q uit die Sn-formule kan halen. (Ik heb al enkele zaken geprobeerd, maar ik kom nooit op 3 uit [wel op 3,11])

Jan Cl
Overige TSO-BSO - zondag 23 mei 2010

Antwoord

Beste Jan,

Dank voor je vraag. Een problematische vraag, omdat we er met puur uitrekenen niet helemaal gaan komen. Natuurlijk, als je de elfdemachtswortel neemt van -797160/-3 dan kom je op ongeveer 3,11. Dus weet je dat het antwoord dicht moet zitten bij 3, iets kleiner moet zijn. Met proberen blijkt 3 dan inderdaad te kloppen. Maar dat lijkt toch een soort van gokken.

Gelukkig kunnen we iets meer gericht proberen, als we er vanuit gaan dat q een rationaal getal is, dus een breuk. Dat gaat zo:

Als je je gegevens invult krijg je:

-797160 = -3 (1-q12)/(1-q)

dus

265720 = (1-q12)/(1-q)

of, als je links en rechts van de = met 1-q vermenigvuldigt

265720(1-q) = 1-q12

en dit is om te werken naar

q12 - 265720q + 265719 = 0.

Dit is een twaalfdegraadsvergelijking, die we normaal gezien niet op kunnen lossen. Maar omdat we ons beperken tot rationale getallen, kunnen we toch iets meer doen.

We gaan gebruik maken van een stelling die ik alleen in het Engels ken als 'rational zero theorem' of 'rational roots theorem':Deze stelling zegt dat als van een veelterm met geheeltallige coŽfficiŽnten een breuk de oplossing is, en die breuk is zo ver mogelijk vereenvoudigd, dan moet de teller een deler zijn van het losse getal, en de noemer een deler van de coŽfficiŽnt bij de hoogste macht. Negatieve getallen tellen ook als deler.

In ons geval moet de teller een deler zijn van 265719 en de noemer van 1 - dus q is een geheel getal. De priemfactorenontbinding van 265719 is 3 ∑ 23 ∑ 3851.

Dus mogelijke oplossingen zijn, rekening houdend met dat q kleiner moet zijn dan 3,11:

1, 3, -1, -3

Hiervan voldoen 1 en 3 aan de formule. Maar 1 is duidelijk niet het antwoord dat we zoeken. En dus moet het wel q=3 zijn.

Hopelijk heb je hier wat aan.

Groeten,

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 25 mei 2010



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3