De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Exponentiele vergelijkingen

Een HBS-B vraagstuk uit 1957:
Voor welke waarde(n) van p heeft de vergelijking:
2^(2x+1) -(9.2^x)=p, twee wortels waarvan de som 1 is?
In het algemeen worden deze vraagstukken met logaritme opgelost; zodat log 2^(2x+1) -log 9 + log 2^x = log p --
(2x+1)log 2 - log 9 + x log 2 = log p -- (3x+1)log 2 - log 9 = log p -- (3x+1)log (2/9) = log p Verder is x(1) + x(2)=1 Verder weet ik het helaas niet. Wie helpt mij op weg? Bij voorbaat hartelijk dank!

Johan
Student hbo - donderdag 6 mei 2010

Antwoord

Denk aan de haakjes, want nu doet u de rekenkundige bewerkingen soms in de verkeerde volgorde.
Bovendien is log(A-B) niet gelijk aan log(A)-log(B).

Het wordt overzichtelijker als men de exponenten gewoon hoog zet, zoals op papier, en niet die lelijkehoeft te gebruiken.

Dus:

22x+1 - 92x = p.

Logaritme nemen maakt het hier niet eenvoudiger, omdat log(A-B) niet gelijk is aan log(A)-log(B).

Het wordt wel eenvoudiger als u 2x=y stelt, want dan is 22x=y2 en 22x+1=222x=2y2. Er komt dan:
2y2 - 9y = p.

Er zijn twee oplossingen voor y precies dan als de discriminant van deze vierkantsvergelijking positief is, dus dan en slechts dan als 81 + 8p 0.
De oplossingen voor y zijn in dit geval:
y1 = (9+(81+8p))/4 en y2 = (9-(81+8p))/4.
Er zijn twee oplossingen voor x precies dan als er twee positieve oplossingen voor y zijn (want 2x=y is altijd positief).
Echter, y2 is negatief tenzij p0.
Dus p moet tussen -81/8 en 0 liggen.

De bijbehorende waarden van x zijn dan:
x1 = 2log((9+(81+8p))/4) en x2 = 2log((9-(81+8p))/4), en de som van deze twee moet 1 zijn.
Dit geeft achtereenvolgens:

2log((9+(81+8p))/4) + 2log((9-(81+8p))/4) = 1
2log(((9+(81+8p))/4)((9-(81+8p))/4)) = 1
2log(-8p/16) = 1
(-8p/16) = 2
p=-4





Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 6 mei 2010



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3