De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Differentierbaarheid

Als ik het goed begrijp, wordt onder differentieerbaarheid bedoeld de mogelijkheid tot het bepalen van de hoek die de raaklijn aan die functie maakt, te bepalen. Mijn probleem is nu het oplossen van het volgendevraagstuk: onderzoek de differentieerbaarheid van de volgende functie in x=0; maak daarbij gebruik van lim delta x->0 delta f(x)/delta x in x=0 en gebruik f(0)=0. De functie waar het om gaat is f(x)->x.x.sin(1/x).

M. Pri
Docent - zondag 29 december 2002

Antwoord

Een functie heet differentieerbaar in x = a als de limiet van het quotiŽnt [f(x) - f(a)]/(x - a) wanneer x tot a nadert bestaat.
Toegespitst op a = 0 wordt dit dan:
de limiet van het quotiŽnt [f(x) - f(0)]/(x - 0) moet bestaan als x tot 0 nadert.
Omdat gegeven is dat f(0) = 0, wordt nu dus gevraagd of de limiet van f(x)/x bestaat als x ģ 0.

Er geldt in dit geval f(x)/x = x.sin(1/x)

Nu geldt -x x.sin(1/x) x (vanwege de begrensdheid van de sinusfunctie tot het interval [-1,1]), en als nu x tot 0 nadert, dan naderen zowel -x als x tot 0 en dus nadert x.sin(1/x) ůůk tot 0 (de insluitingsstelling).

Grafisch gesproken komt het er op neer dat de grafiek van de functie f(x) = x.sin(1/x) aan de onder en bovenkant wordt begrensd door de rechte lijnen y = x en y = -x. Deze lijnen gaan beide door de oorsprong en dķs wordt de grafiek van f ůůk gedwongen door de oorsprong te gaan. Teken de situatie maar eens op een grafische rekenmachine.
De conclusie luidt in ieder geval: omdat de beschreven limiet bestaat met waarde 0 is de gegeven functie in x = 0 differentieerbaar.

NB. in de openingszin van de vraag spreek je over de "raaklijn aan een functie". Dit zou moeten zijn: "aan de grafiek van de functie". Een enigszins exact taalgebruik is in dit vak absoluut nodig.

MBL
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 1 januari 2003



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb