De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Maximum en supremum

Voor mijn examen wiskunde moet ik kunnen bewijzen dat dat het maximum van een verzameling ook het supremum van die verzameling is.

Lylon
Student Hoger Onderwijs BelgiŽ - zaterdag 28 december 2002

Antwoord

Je moet even precies de definities van deze termen terug roepen. Het maximum van een verzameling getallen is het grootste getal in die verzameling.
Is de verzameling eindig dan is er altijd een grootste bij, maar een oneindige verzameling heeft niet altijd een grootste element.
Voorbeeld : V = {1/2; 2/3; 3/4;...}.

Het supremum Sup(V) van een verzameling van getallen V is de kleinste bovengrens van V. ( b is een bovengrens van V als voor ieder element v van V geldt: v b.) Een verzameling V is (naar boven) begrensd als er minstens ťťn bovengrens is.

Een fundamentele stelling over de reŽle getallen zegt: iedere begrensde verzameling heeft een supremum.
Bij de verzameling V hierboven is het supremum Sup(V) = 1.
Om te bewijzen dat een getal S het supremum van V is moet je 2 dingen bewijzen:
  1. S is een bovengrens dwz v S voor alle v in V
  2. Er is geen kleinere boven grens dwz als t < S dan is er minstens ťťn v in V met v > t.
Dus als V een maximum M heeft dan heeft V een supremum, want Sup(V) = M in dat geval.

Maar aan het voorbeeld hierboven zie je dat er soms wel een supremum is maar geen maximum. En dan nog: Als V niet begrensd is dan is er noch het een noch het ander.
Veel succes.

JCS
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 29 december 2002



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2023 WisFaq - versie 3