De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Re: Re: Volkomen kwadraten

 Dit is een reactie op vraag 60470 
Wie zou dan dat diepzinnig getaltechnisch verhaal eens kunnen of willen op papier zetten voor mij?

Rik Le
Iets anders - woensdag 14 oktober 2009

Antwoord

Dag Rik.

Ik zal eerst je oorspronkelijke vraag maar even herhalen, anders snapt niemand meer waarover het gaat.
Dag wisfaq,
A en B stellen 2 positieve gehele getallen met 3 cijfers voor. Vorm nu ook het getal C met 6 cijfers door A en B, in deze volgorde, naast elkaar neer te schrijven.
Bepaal nu A en B zo dat A, B, B-A, C en C/B allemaal volkomen kwadraten zijn. Kan iemand mij helpen?
Leuke vraag eigenlijk wel.
Er is meer dan 1 paar A en B dat voldoet aan de eisen en niet alleen het gegeven antwoord A=225 en B=625.
Laten we eens kijken hoe je enigszins systematisch tot een antwoord kunt komen.
Snap je dat C=1000A+B en dat dus C/B=(1000A+B)/B=1000·(A/B)+1?
En dat als C/B een kwadraat is dat C dat automatich ook is?

Noemen we A=p2 en B=r2, dan volgt uit het gegeven dat B-A een kwadraat is dat B-A te schrijven is als B-A=q2 en dat dan geldt p2+q2=r2
Dus p,q en r vormen een Pythagoreisch drietal.
Als p en r een gemeenschappelijke factor f hebben dan hebben p2, q2 en r2 een gemeenschappelijke factor f2.

Voor het gemak stellen we nu: p=f·m, en r=f·n zodanig dat m en n geen gemeenschappelijke factor hebben.

Dus A=f2m2 en B=f2n2 en B-A=f2(n2-m2).
Vullen we dit nu in in C/B=1000·(A/B)+1 dan krijgen we C/B=1000m2/n2+1.
Wil dit überhaupt een geheel getal opleveren dan moet n2 een deler zijn van 1000, immers m en n hebben geen gemeenschappelijke factor.
Dus n2=1,4,25 of 100.
Verder geldt AB dus mn en daarmee valt n2=1 al af.
n2=4 en m2=1 valt af omdat 4-1 geen kwadraat is
n2=25 combineren met m2=1,4,9 of 16:
25-1=24, geen kwadraat
25-4=21, geen kwadraat
25-9=16: kwadraat
25-16=9: kwadraat
Laten we deze twee eens verder gaan onderzoeken.
m2=9 en n2=25 levert C/B=1000·9/25+1=361=192
m2=16 en n2=25 levert C/B=1000·16/25+1=641 en dat is geen kwadraat.

Goed,
n2=25 en m2=9.
Dus A=9f2 en B=25f2 en 100A,B999.
f2=16 levert A=144 en B=400
f2=25 levert A=225 en B=625
f2=36 levert A=324 en B=900.

n2=100 laat ik aan je eigen fantasie over maar ik geloof niet dat dat nog nieuwe oplossingen geeft. (Bedenk wel dat m en n geen gemeenschappelijke factor mogen hebben).

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 15 oktober 2009



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3