De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Re: Integraal van 1/(1-x²) bepalen

 Dit is een reactie op vraag 59980 
Twee vragen!
1)Na de zinsnede: Gebruik makend van de regel "a2-b2=(a+b)(a-b)" noteert u: Int 1+x/(1-x)(1+x)dx. Mijn vraag is: waarom mag je 1+x in teller en noemer niet degen elkaar wegdelen of strepen?
2)In de laatste regel zet u "ln|sqr(1+x/1-x)|", om in tanh-1(x). Daar is niets mis mee; alleen heb ik dat op school nooit geleerd, helaas. Waar kan ik de theorie hierover raadplegen, s.v.p.?
Bij voorbaat heel veel dank!

Johan
Student hbo - zaterdag 5 september 2009

Antwoord

Beste Johan,

1) Je mag die factoren wegdelen, maar ik had het op die manier geschreven om de substitutiemethode aan te tonen. Integralen zijn namelijk niet altijd te vereenvoudigen, en dan is het handiger om de substitutiemethode duidelijk uitgelegd te krijgen. Maar je hebt gelijk: waarom moeilijk doen als het makkelijk kan?

2) Meer informatie over de inverse tangenshyperbolicus kunt u op Mathworld of op Wikipedia vinden.
Het is namelijk zo dat (arctanh(x) + c)' = 1/(1-x2) en dus ņ(arctanh(x) + c)' dx = ņ(1/(1-x2)) dx met andere woorden arctanh(x) + c = ņ1/(1-x2).
Nu kun je je afvragen waarom dat de afgeleide van arctanh(x) gelijk is aan 1/(1-x2), want zonder dit gegeven zou bovenstaande afleiding ook 'zomaar uit de lucht komen vallen'. Dit kun je als volgt bewijzen:
Zij f(x) = arctanh(x) en g(x) = tanh(x), dan moet gelden dat f(g(x)) = x, mits x reėel is. Dus als we linker- en rechterlid afleiden, moet gelden dat (f(g(x)))' = x' oftewel m.b.v. kettingregel f'(g(x))¢®¢“g'(x) = 1 links en rechts door g'(x) delen levert
f'(g(x)) = 1/(g'(x)). Nu is g'(x) = (tanh(x))' = 1/(cosh2x) (zie hiervoor bijvoorbeeld Math2.org).
Dus f'(g(x)) = 1/(1/cosh2x) en cosh2x - sinh2x = 1, dus staat er
f'(g(x)) = 1/((cosh2x - sinh2x)/cosh2x) = 1/(1 - tanh2x)
m.a.w. f'(tanh(x)) = 1/(1 - tanh2x). Laten we nu tanh(x) = p, dan staat er f'(p) = 1/(1 - p2), wat we moesten aantonen.


En aangezien we via de afleiding van het vorige antwoord te weten kwamen dat die integraal ook als primitieve ln|Ö((1+x)/(1-x))| + c heeft, moet dus gelden beiden vormen equivalent moeten zijn (op een constante na). Een alternatief antwoord, en volgens mij bedoelde je dit ook, is op Karlscalculus.org onder het kopje "Inverse Hyperbolic Functions"  te lezen.

Gr. Davy.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 5 september 2009
 Re: Re: Integraal van 1/(1-x²) bepalen 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb