De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Meetbare verzamelingen

Hallo wisfaq,

Zou u mij kunnen helpen met het oplossen van de volgende vraag?

Neem X:=; Zij A de $\sigma$-algebra {,X}. De A-meetbare functies zijn precies de constante functies. Voor c $\bot$ [0,$\to\infty$] definiren we een maat $\mu$ op A door: $\mu$()=0 (allicht) en $\mu$(X)=c.

Zij Afin:={Y$\bot$A : $\mu$(Y)$<\to\infty$}; F is de ruimte der Afin-trapfuncties; $\phi$ is de elementaire integraal op F, vastgelegd door: $\phi$(1Y)=$\mu$(Y) (Y$\bot$Afin);

M is de $\sigma$-algebra der $\phi$-meetbare verzamelingen.
Bepaal M voor c=0 en c=1.

Hoe ga ik nu te werk?

Mijn idee is dat M={,X} voor c$\to\infty$. Want voor zulke c geldt: $\mu$()=0$<\to\infty$ en $\mu$(X)=c$<\to\infty$ $\Rightarrow$ , X $\bot$ Afin $\Rightarrow$ $\phi$(1)=$\mu$()=0$<\to\infty$ en $\phi$(1X)=$\mu$(X)=c$<\to\infty$ $\Rightarrow$ en X zijn $\phi$-meetbare verzamelingen. Ofwel , X $\bot$ M.

M kan volgens mij niet groter zijn want, voor YX geldt YA en dus YAfin ofwel YM.

Maar ik weet niet of ik het $\phi$-meetbaar zijn van een verzameling begrijp... want nu heb ik het idee dat de verzameling alleen maar $\phi$-meetbaar is als hij iig in A zit.... Maar dat klopt vast niet....

Can anyone help me please?

Groet

J
Student hbo - zondag 16 augustus 2009

Antwoord

De f-meetbare verzamelingen vormen een s-algebra en het zijn de verzamelingen waarvoor de karakteristieke functie integreerbaar is. Integreerbaar betekent hier dat onder- en bovenintegraal gelijk zijn. De bovenintegraal van f is het infumum van alle integralen van A-meetbare functies die boven f liggen en de onderintegraal is het supremum van alle integralen van de A-meetbare functies die onder f liggen. In dit speciale geval, als f de karakteristieke functie van een verzameling G is geldt dat de bovenintegraal gelijk is aan c als G niet-leeg is en 0 als G leeg is; de onderintegraal is c als G=X en 0 anders.
Als c=0 is dus elke verzameling meetbaar (0=0); als c niet nul is zijn alleen X en de lege verzameling meetbaar.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 20 augustus 2009
 Re: Meetbare verzamelingen 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3