De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Re: Projectieve meetkunde

 Dit is een reactie op vraag 59674 
Bedankt voor uw antwoord, ik begrijp wat u zegt.

De vergelijkingen van de twee raaklijnen zitten vervat in ťťn vergelijking , nl. het kwadraat van de partiŽle afgeleide verminderd met 4 maal het product van de kegelsnede zelf en de functiewaarde van een punt:

(partiŽle afgeleide)2-4f(x,y,z)*f(x1,y1,z1)=0

Deze ene vergelijking is ontaard, logisch, want er zijn twee raaklijnen, maar ik zie niet hoe je dat uit deze algebraÔsche vorm kan afleiden, dat is mijn probleem.

Dank bij voorbaat!

Brent
3de graad ASO - zaterdag 20 juni 2009

Antwoord

U formuleert erg onzorgvuldig. Wat bedoelt u met "de partiŽle afgeleide", en hoe zou je een functiewaarde met een kegelsnede kunnen vermenigvuldigen?
En wat verstaat u onder een ontaarde vergelijking?
Tot slot: uw probleem is kennelijk niet het afleiden van de ontaardheid van de kegelsnede bestaande uit de twee raaklijnen, maar hoe men aan de vergelijking van de twee raaklijnen komt.

Afgaande op de vorm van de vergelijking lijkt het erop dat hier een discriminant van een vierkantsvergelijking gelijk aan 0 is gesteld.
Ik denk dat de inhomogene vergelijking van de kegelsnede luidt: f(x,y,1)=0.
Het is van belang dat deze vergelijking kwadratisch is.
Neem de inhomogene vergelijking van een willekeurige lijn door het eigenlijke punt (x1,y1,1), en snijd deze lijn met de kegelsnede: de snijpunten moeten zowel aan de vergelijking van de kegelsnede als aan die van de lijn voldoen.
Door de vergelijkingen te combineren krijgt men weer een vierkantsvergelijking.
De lijn is raaklijn precies dan als de discriminant 0 is, want dan vallen de twee snijpunten samen.
Omdat in uw vergelijking partiŽle afgeleiden voorkomen, zal de laatstgenoemde vierkantsvergelijking wel herleid zijn tot linkerlid=0, en het linkerlid geschreven zijn als de kwadratische Taylorveelterm waarmee het samenvalt.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 2 juli 2009



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3