De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Convolutieproduct

Hoi wisfaq,

Een functie h is van gematigde groei als h continu is en als er een constante bestaat A0 zodat

|h(x)|= A/(1+(x)2) voor alle x reŽel.

Ik wil aantonen dat als f en g twee functies zijn van gematigde groei, dan is het convolutieproduct van f en g ook van gematigde groei,dat is

(f∑g)(x)=INT[f(x-y)g(y)dy]= C/(1+(x2)) voor een C0.

Ik heb de volgende hint

INT[f(x-y)g(y)dy]=INT1[f(x-y)g(y)dy]+INT2[f(x-y)g(y)dy]

waar INT1 geldt voor |y|=|x|/2 en INT2 geldt voor |y|=|x|/2

en in INT1 geldt |f(x-y)|=O(1+(x2)) en in INT2 geldt dat |g(y)|=O(1+(x2)).(O is here big O)Dus,
|f(x-y)|=M/(1+(x2)) voor x naar oneindig, en
|g(y)|=N/(1+(x2))voor x naar oneindig.

Hieruit volgt

INT1+INT2= (M/(1+x2))∑INT[g(y)dy]+(N/(1+x2))∑INT[f(x-y)dy]
Ik begrijp niet hoe ik nu verder moet.Ook begrijp ik niet waarom INT1 geldt voor |y|=|x|/2 en INT2 voor |y|=|x|/2.

Groeten,

Viky

viky
Student hbo - donderdag 7 mei 2009

Antwoord

Zowel INT[|g(y)|dy] als INT[|f(x-y)|dy] zijn eindig, dus bij elkaar krijg je een vast getal maal 1/(1+x2) als bovengrens.
Er staan nogal wat fouten in je uitwerking; de x is vast, dus je kunt hem niet naar oneindig laten gaan. Op zijn best zou je dus in plaats van ``O(1/(1+y2)) voor y naar oneindig'' moeten hebben maar voor de uitwerking heb je echt een vast getal maal 1/(1+y2) hebben. De verdeling in twee stukken |y|=|x|/2 en |y|=|x|/2 is gekozen om makkelijke afschatingen te maken.
In INT2, met |y|=|x|/2, geldt |g(y)|=M/(1+y2)=M/(1+(x/2)2)=4M/(4+x2); en omdat de integraal van |f(x-y)| eindig is kun je INT2 overschatten met K2/(4+x2) met K2 een vast getal.
In INT1, met |y|=|x|/2, geldt |f(x-y)|=N/(1+(x-y)2)=N/(1+(x/2)2)=4N/(4+x2); nu gebruik je dat de integraal van |g(y)| eindig is om een overschatting van INT1 te vindem van de vorm K1/(4+x2).
Tezamen geeft dit dus deze bovengrens voor de convolutie: (K1+K2)/(4+x2).
Overigens kun je de absolute waarde van de convolutie afschatten met int(1/(1+(x-y)2)1/(1+y2),dy) (maal een constante) en die laatste integraal even uitrekenen (er kunt Pi/2/(4+x2) uit).

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 8 mei 2009



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb