De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Getaltheorie

Beste Wisfaq,

Ik zit met het volgende probleem:

Ik moet aantonen dat het aantal oplossingen voor x2-y2=a (mod p) (waarbij p een oneven priemgetal is) p-1 is wanneer a ongelijk aan 0 (mod p) is en 2p-1 wanneer a = 0 (mod p)

Als hint is gegeven: wanneer a ongelijk is aan 0 (mod p), toon dan aan dat er voor elke c ongelijk 0 (mod p) een unieke oplossing (x,y) is waarvoor (x-y) = c (mod p).

Ik zie echter niet in hoe ik de hint moet relateren aan het gegeven probleem, of ik de hint moet aantonen.

Bij voorbaat dank voor de hulp,

Herman

Herman
Student universiteit - zondag 19 april 2009

Antwoord

Dag Herman,

De vorm x2-y2 en de hint zouden je op de gedachte kunnen brengen x2-y2 te schrijven in de vorm cd met c=x-y en d=x+y.
1)
a=0
cd=0 mod p betekent c=0 (mod p) of d=0 (mod p) (of beide)
Hieruit volgt gemakkeljk het gestelde voor a=0.

2)
a0.
Je moet nu de hint zo lezen: voor iedere a0 en c0 (mod p) bestaat precies een oplossing (x,y) (mod p).
Je kunt deze oplossing (x,y) als volgt bepalen:
Ga uit van de vergelijking cd=a.
Bepaal nu het getal e zo, dat ce=1 (mod p).
Dit getal e wordt wel de modulaire inverse van c (mod p) genoemd. Ook wel geschreven als c-1 (mod p)
Dat kan met het uitgebreide euclidisch algoritme. Ik neem aan dat je niet hoeft te bewijzen dat c-1 uniek (mod p) is als ggd(c,p)=1.

Dan:
Vermenigvuldig de vergelijking cd=a links en rechts met e=c-1.
Je krijgt dan:
c-1cd=c-1a
Dus x+y=d=c-1a
Bij elke keuze van a en c=x-y bestat dus een unieke waarde van d=x+y.
Dan 2x=c+d en 2y=d-c.
Vermenigvuldig in beide gevallen met 2-1 mod p en je hebt x en y.
(En hier komt om de hoek kijken waarom p een oneven priem moet zijn)

Uitgewerkt voorbeeld:
Neem p=7, a=5 en c=4.
Dan 4d=5 mod 7.
4-1 mod 7=2. (42=8=1 mod 7)
Dus 24d=25 mod 7, dus d=10 (mod7)=3
c=x-y=4
d=x+y=3
2x=c+d=7=0 mod 7
2y=d-c=3-4=-1=6 mod 7
2-1 mod 7=4.
x=40=0, y=46=24=3 mod 7.
02-32=0-9=-9=-2=5 mod 7.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 20 april 2009



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2023 WisFaq - versie 3