De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Ellips: bewijs

Gegeven:

E: 16x2 + 25y2 = 400
d: 3x - 25 = 0

We noemen F het brandpunt van E gelegen op de positieve x-as. Bewijs voor een veranderlijk punt D element van E dat de verhouding van de afstanden van D tot F en tot d constant is.

The Lo
3de graad ASO - woensdag 15 april 2009

Antwoord

Beste Londonist,

E wordt ook gegeven door de alternatieve vergelijking (x/5)2+(y/4))2=1, dus de punten U(5,0) en ÷(0,4) liggen op E.
Stel dat de brandpunten F'(-a,0) en F(a,0) zijn, voor positieve a. Daar de som van de afstanden van U tot de brandpunten 5-a+5+a=10 is, en de som van de afstanden van D tot de brandpunten constant, is ook de som van de afstanden van V tot de brandpunten gelijk aan 10.
Dus 2∑÷(a2+16) = 10. Hieruit volgt a=3, dus F(3,0).

Uit de alternatieve vergelijking voor E volgt dat elk punt van E is te schrijven als D(5∑cos(t),4∑sin(t)) voor zekere t.
De afstand van D tot F is ÷((5∑cos(t)-3)2+(4∑sin(t))2) = ÷(25∑cos(t)2+16∑sin(t)2+9-30∑cos(t)) = ÷(9∑cos(t)2+25-30∑cos(t)) = ÷((3∑cos(t)-5)2) = 5-3∑cos(t).
De afstand van D tot d is 25/3 - 5∑cos(t).
De verhouding van de afstanden is dus (5-3∑cos(t))/(25/3 - 5∑cos(t)) = 3/5.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 15 april 2009



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3