De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Zwaartepunt

Er is een omwentelingslichaam getekend van grafiek
f(x) = x2 met domein [0,1] en deze wordt om de x-as gewenteld. Bereken de plaats van het zwaartepunt van dit omwentelingslichaam.

Moet je de formule M = K Ě d gebruiken?

CÚline
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 15 april 2009

Antwoord

Hallo, CÚline.

Je HOEFT die formule niet te gebruiken, want de bepaling van het zwaartepunt kan standaard worden uitgevoerd, als volgt:

1) Maak een parametervoorstelling van de rand van het lichaam.
Hier wordt dat (x, x2cos(t), x2sin(t)), 0$\leq$x$\leq$1, 0$\leq$t$<$2$\pi$.

2) Bereken de massa van het lichaam bij massadichtheid 1. Dat is de integraal met integrand 1 over het lichaam.
Hier wordt dat $\int{}$01$\int{}$-x2x2$\int{}$-x2sin(t)x2sin(t) dz dy dx (met y=x2cos(t) waarbij t loopt van $\pi$ naar 0) = $\pi$/5.
Alternatieve berekening met poolco÷rdinaten:
$\int{}$01$\int{}$02$\pi$$\int{}$0x2 r dr dj dx = $\pi$/5.

3) Bereken de co÷rdinaten van het zwaartepunt.
Dat is voor elke co÷rdinaat de integraal over hetzelfde lichaam, maar nu met integrand x, resp y en z, ipv 1, en telkens gedeeld door de massa $\pi$/5.
Dat wordt hier:
x-co÷rdinaat ($\pi$/6)/($\pi$/5) = 5/6;
y-co÷rdinaat 0/($\pi$/5) = 0;
z-co÷rdinaat 0/($\pi$/5) = 0.

Dat hier de laatste twee co÷rdinaten 0 zijn, is trouwens meteen duidelijk vanwege de symmetrie in het omwentelingslichaam.

NASCHRIFT: misschien voel je er nu toch voor, gewoon de formule toe te passen die je noemt, en die geldt voor omwentelingslichamen:
d = M/K = $\int{}$01 $\pi$xy2 dx / $\int{}$01 $\pi$y2 dx, met y = x2.
Reken zelf na dat d = 5/6.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 16 april 2009
 Re: Zwaartepunt 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb