De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Deelbaarheid en kwadraten

De stelling is:

Als een getal op een 1 eindigt en je vormt een nieuw getal met alle cijfers voor de 1. Wanneer dat nieuwe getal niet deelbaar is door 4, dan heb je niet met een kwadraat te maken. Andersom werkt de stelling niet.

Stelling schijnt te kloppen:
neem 91: haal de 1 weg, je houd 9 over: is niet deelbaar door 4, dus 91 is geen kwadraat.

neem: 111111, haal een 1 weg: je houd 11111 over, is niet deelbaar door 4. 111111 is dus geen kwadraat.

Kan iemand mij hier een bewijs voor laten zien?

Groeten,
Davey

Davey
Beantwoorder - zondag 25 januari 2009

Antwoord

Getallen die uitgaan op een 1 en die een kwadraat zijn zijn van de vorm (10k+1)2 of (10k+9)2
(10k+1)2=100k2+20k+1.
Deze getallen zijn zelf 10-vouden+1.
De achterste 1 weghalen betekent dus 1 aftrekken en delen door 10.
We houden dan over 10k2+2k.
We willen nu bewijzen dat 10k2+2k altijd deelbaar is door 4.
Aangezien 10 mod 4=2, is 10k2+2k (modulo 4) gelijk aan 2k2+2k=2(k2+k)=2k(k+1).
Aangezien k(k+1) even is is 2k(k+1) altijd een viervoud.

Voor de gevallen (10k+9)2 krijg je
100k2+180k+81.
Een eraf en delen door 10 levert 10k2+18k+8, wat modulo 4 ook gelijk is aan 2k2+2k. Dus ook hier: het voorste stuk is een viervoud.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 25 januari 2009



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3