De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Raaklijn aan een cirkel

Hey,

Ik zit vast met volgend probleem:

"Bewijs dat een raaklijn loodrecht staat op de middellijn door het raakpunt."

We hebben in de klas het omgekeerde bewezen, maar het bewijs omdraaien lukt hier niet. Hoe doe ik dit?

Bedankt

Jonas
2de graad ASO - dinsdag 20 januari 2009

Antwoord

Laat k de raaklijn zijn die de cirkel (met straal r en met middelpunt M) in het punt R raakt.
Veronderstel nu eens dat MR niet loodrecht op k staat. Wanneer je dan een loodlijn vanuit M neerlaat op k, dan snijdt deze de lijn k dus niet in R.
Noem die loodlijn MQ, waarbij Q dus wl op k ligt, maar nit samenvalt met R.
Nu zou je bijv. een beroep kunnen doen op de stelling van Pythagoras.
Driehoek MQR is rechthoekig in Q en dus zal MR2 = MQ2 + QR2.
Omdat R niet samenvalt met Q, is QR 0 en dus ook QR2 0.
Dan volgt uit de Pythagorasrelatie dat MR2 MQ2 ofwel MQ MR (= r).
Maar, als MQ r is, dan ligt Q binnen de cirkel en een raaklijn aan een cirkel heeft zijn punten niet binnen maar buiten de cirkel liggen.
Kortom: als je uitgaat van de veronderstelling dat MR niet loodrecht staat op k, dan zou de consequentie zijn dat een raaklijn aan de cirkel een punt binnen die cirkel heeft liggen. Die consequentie is onzinnig en dus moet de gedachte dat MR niet loodrecht op k staat, verworpen worden.
Maar dan staat MR dus wl loodrecht op k.

De inzet van de stelling van Pythagoras verlangt natuurlijk wel dat de stelling reeds bekend is. Wie de meetkunde vanaf het begin aan het opbouwen is, zal vermoedelijk eerder met de raaklijnstelling in contact komen dan met Pythagoras. In dat geval zal men moeten uitwijken naar andere bewijzen van de raaklijnstelling en die zijn er gelukkig ook.

MBL
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 21 januari 2009



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3