De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Bewijs met volledige inductie

Hallo, hoe bewijs je volgende formule door middel van inductie? 1/12+1/23+1/34+...1/(n-1)n+1/n(n+1)=n/(n+1) Bedankt

Bram
3de graad ASO - zondag 8 juni 2008

Antwoord

Merk op dat 1/(k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1) voor alle k 0. Je zou dus eigenlijk al meteen kunnen zeggen dat

1/2 + 1/6 + 1/12 + ... + 1/(n(n+1))
= (1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/(n-1)-1/n)+(1/n-1/(n+1))
= 1+0+0+...+0-1/(n+1) = 1 - 1/(n+1) = n/(n+1).

Het is natuurlijk niet meer zo lastig het argument per volledige inductie te geven: als de formule klopt voor een zekere k0, dan zal de som voor k+1 gelijk zijn aan k/(k+1) + 1/((k+1)(k+2)) = 1 - 1/(k+1) + 1/(k+1) - 1/(k+2) = 1-1/(k+2) = (k+1)/(k+2).

cd
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 8 juni 2008



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3