WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Gram schmidt

Beste Wisfaq,
Ik heb een bedenking bij de Gram-Schmidt methode,
Stel we hebben een basis B= {v1,v2,..,vn} en als output willen we een orthogonale basis vinden.
Dus het bewijs loopt als volgt:
Neem v1 en normeer die:
e1= v1/(||v1||)
Neem v2 en vorm een v2’= v2-v2,e1e1, dit om ervoor te zorgen dat ze loodrecht staan
Vervolgens moet je die v2’ ook nog op lengte 1 brengen:
e2=v2’/((||v2||)

Mijn vraag is nu: waarom kan ||v2|| onmogelijk gelijk zijn aan 0 en waarom zal de uiteindelijke uitkomst een basis vormen, dus Lineair onafhankelijk en voortbrengend?
Ik zie dit namelijk niet zo goed in..

in ieder geval veel dank!

Rdori
Student universiteit België - donderdag 5 juni 2008

Antwoord

- Geen enkele basis bevat de nulvector, aangezien de nulvector nooit nuttig kan zijn voor het maken van lineaire combinaties. Bij het "uitzuiveren" van een voorbrengende verzameling om tot een basis te komen, verlies je die dus meteen

- Dat B' voortbrengend is volgt uit de "omgekeerde" relaties van die die je opnoemt: iets dat een lineaire combinatie is van de eerste i v-vectoren is meteen ook een lineaire combinatie van de eerste i v'-vectoren.

- Om diezelfde reden is de verzameling B' ook lineair onafhankelijk: als een bepaalde vector in B' te schrijven zou zijn als een lineaire combinatie van andere vectoren uit B', dan zou hetzelfde ook gelden voor de corresponderende vector uit B tov zijn kompanen.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 5 juni 2008