De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Bewijs voor de formule van Euler

Hallo,
Ik had vandaag een mailtje van jullie gehad voor het bewijs van de stelling van Euler, het probleem is alleen, ik heb hem in het Engels gekregen van jullie, maar ik ben niet zo goed in Engels en begrijp het bewijs niet. Nu wou ik vragen of jullie het misschien in het Nederlands kunnen geven voor me. Ik hoop dat het niet te veel moeite is. Groetjes Sandra

Sandra
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 8 november 2001

Antwoord

Een aanzet voor een bewijs:

1.
Met P:punten, Z:zijden en V:vlakken geldt voor een veelhoek in het platte vlak: P=n, Z=n en V=2, zodat geldt: P+V=Z+2
(V=2, omdat de figuur het platte vlak in 2 gebieden verdeelt)

Voorbeeld:

q556img1.gif

P=5
V=2
Z=5
5+2=5+2? Ja!

2.
Als we twee veelhoeken met een zijde aan elkaar plakken dan geldt:
(P1+P2-2)+3=(Z1+Z2-1)+2
(P1+P2)+5=(Z1+Z2)+3
(P1+P2)=(Z1+Z2)+2

Voorbeeld:

q556img2.gif

P1=5
Z1=5
V=3
P2=4
Z2=4
Z2=1
(5+4-2)+3=(5+4-1)+2?
7+3=8+2? Ja!

(3 vlakken? je kunt beter spreken over 3 gebieden... het blauwe, het paarse en het 'buitengebied')

3.
Met dit aan elkaar plakken van veelhoeken kan je door gaan. En steeds geldt: P+V=Z+2

q556img3.gif

4.
Het uitrekken of inkrimpen van zijden van de verschillende veelhoeken doet geen afbreuk aan de waarden van P, V en Z, zolang de lengte van een zijde maar geen nul wordt.
Je kunt zelfs alle veelhoeken weer onderverdelen in driehoeken, maar steeds blijft gelden: P+V=Z+2

5.
Een (convex) lichaam kan je op een speciale manier 'plat slaan' zodat je een plat figuur krijgt die ook voldoet aan P+A=Z+2. Die P's zijn de hoekpunten, die V's zijn het aantal vlakken en de Z's zijn de ribben. Dus geldt: H+V=R+2.

Voorbeeld:

q556img4.gifq556img5.gif

In de rechter figuur:
P=8
V=6
Z=12
8+6=12+2 klopt!

In de linker figuur:
H=8
V=6
R=12
8+6=12+2 klopt!

Zie Nineteen Proofs of Euler's Formula

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 15 november 2001



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3