De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Ideaal theorie

weet iemand waarom dat een commutatieve ring een lichaam of veld is = {0} het enige ideaal in de ring is?

winny

winny
Beantwoorder - donderdag 24 april 2008

Antwoord

Je moet laten zien dat de vermenigvuldiging van de ring R een 1 heeft en dat voor elke x ongelijk 0 een y bestaat met xy=1.
Laat x ongelijk aan 0 zijn.
Stap 1: Het ideaal (x) voortgebracht door x is niet (0), en dus (x)=R; er is dus een e in R met ex=x (e is voorlopig afhankelijk van x).
Stap 2: Het ideaal {z:xz=0} is niet de hele ring, dat volgt uit Stap 1, dus is het (0); dit impliceert dat y-yx injectief is en, met Stap 1, zelfs bijectief. De e uit Stap 1 is dus uniek; noteer hem als ex.
Laat nu x en y willekeurig en ongelijk aan 0 zijn. Er is een z z dat y=xy (Stap 1); daaruit volgt dat exy=exxz=xz=y en dus ex=ey. Er is dus n e z dat ex=x voor alle x. Wegens Stap 1 bestaat voor elke x ongelijk 0 een y met xy=e.
Klaar

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 24 april 2008



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3