De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Lineare afbeelding

Goede dag,
Ik zit vast met de volgende vraag. Vandaar wil ik graag een uitgebreid antwoord op mijn vraag.

Opgave: Laat V een vectorruimte zijn en A:V«V een lineare afbeelding zodat A3=I. I is de identiteit I(v)=v voor elke v uit V (opmerking: v is vector).

a) Geef voor het geval V=R3 een voorbeeld van zo'n lineare afbeelding A (met AI)

b) Toon voor het algemeen geval aan dat
Im (A2+A+I)=ker(A-I)

Met vriendelijke groet

Anna

Anna
Student hbo - zondag 30 maart 2008

Antwoord

Dag Anna,

Je afbeelding A voldoet aan A3=I. Dat betekent dat als je een willekeurige vector v neemt, en je past er A op toe, en op het resultaat pas je nog eens A toe, en daarop nog eens, dat je opnieuw bij v uitkomt. Bovendien moet A een lineaire afbeelding zijn.

Je weet allicht dat in R3 de lineaire afbeeldingen allemaal van dezelfde vorm zijn: de inwerking van A op een punt met co÷rdinaten (x,y,z), beeldt dit punt af op een nieuw punt (x',y',z') dat je kan berekenen met behulp van een matrixproduct. Elke lineaire afbeelding heeft immers een 3*3 matrix (noem hem hier bijvoorbeeld B) zodat
A((x y z)T) = (x' y' z')T = B * (x y z)T.

(Met die T bedoel ik transponeren, dus er staan eigenlijk kolomvectoren)

Dus het feit dat A3 de identiteit moet zijn, uit zich in het feit dat
A(A(A((x y z)T))) = B3 (x y z)T = (x y z)
dus je zoekt een matrix B waarvoor B3=I (de eenheidsmatrix) en BI.

Dat is niet zo eenvoudig om zomaar op het zicht zo een matrix op te stellen, dus laten we het eens meetkundig bekijken: voorbeelden van lineaire afbeeldingen in de ruimte zijn rotaties, spiegelingen, homothetieŰn,... Het makkelijkste is allicht de rotatie: over welke hoek a moet je roteren zodat het driemaal toepassen van deze rotatie de identiteit geeft (tip: identiteit is hetzelfde als roteren over 360░...)

b) kan je makkelijkst doen door een vector te nemen die in de ene verzameling zit, en dan aan te tonen dat hij ook in de tweede verzameling zit, en omgekeerd. Laat ik al eens de eerste richting doen: stel dat v in Im(A2+A+I) zit. Dat betekent dat v het beeld is onder A2+A+I van een vector w, of nog, dat er een w bestaat zodat (A2+A+I)(w)=v
dus A2(w)+A(w)+w=v
Te bewijzen: zit v in Ker(A-I)?
Wel, pas dan (A-I) toe op de vector v, gebruik makend van de schrijfwijze voor v die we net zijn uitgekomen:
(A-I)(v)=(A-I)(A2(w)+A(w)+w)
= A3(w)+A2(w)+A(w)-A2(w)-A(w)-w
= A3(w)-w
= w-w
= 0
want A3 was de identiteit I, dus A3(w)=I(w)=w.
Besluit: v zit inderdaad in Ker(A-I) want (A-I)(v)=0.

Probeer nu ook de andere richting eens... Die lijkt op het eerste zicht wel ietsje moeilijker... Hint hierbij: bepaal (A▓+A+1)(v/3) als v in ker(A-I) zit. Dat laatste is een toevoeging van een aandachtige lezer :-)

Groeten,
Christophe.

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 3 april 2008



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2023 WisFaq - versie 3