De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Bewijzen van limiet met behulp van formele definitie

Als ik wil bewijzen dat lim voor x-1 van (x2 + 3) = 4, dan doe ik dat op de volgende manier:

Als 0|x-1|d dan |(x2 + 3) - 4|= |x2 - 1| = |x + 1||x-1|e=d|x+1|. |x+1| is gedefinieerd voor alle x uit R, dus wat is er mis met zo'n kort bewijs? (Bovendien is |x+1| niet gelijk aan 0 vlakbij x=1). In de boeken wordt namelijk eerst aangenomen dat d is kleiner dan of gelijk aan 1, om het vervolgens heel ingewikkeld te maken.

Roel
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 25 maart 2008

Antwoord

Beste Roel,

Je moet kunnen aantonen dat je |(x2+3)-4| = |x2-1| kleiner kan krijgen dan eender welke opgelegde e0. Dit doe je door voor elke e0, een d0 te geven met |x-1|d, zodat de gevraagde afschatting geldt.

Door te ontbinden heb je |x2-1| = |x-1||x+1| waarbij je |x-1| al kan afschatten door d. Nu moet je |x+1| dus nog kunnen afschatten. Je weet dat |x-1|d, dus x1+d of x+12+d. Je taak is om d te geven, je kan op dit moment bijvoorbeeld delta zeker kleiner dan 1 nemen, dan is x+13.

Dan volgt: |x-1||x+1| 3d. Omdat je dit kleiner wil dan eender welke epsilon, neem je d = e/3. Onderweg hadden we ook al d1 genomen, zodat we zeker voldoen indien we d = min{1,e/3} nemen.

Voor een ander uitgewerk voorbeeld kan je hier kijken.

mvg,
Tom

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 25 maart 2008
 Re: Bewijzen van limiet met behulp van formele definitie 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3