De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Legendre polynomen

Beste Wisfaq,

Ik heb de volgende vraag. Gegeven is een inproduct

(f,g) = -11f(x)g(x) dx

En lengendre polynomen gedefinieerd door

Ln=1/(2n n!) dn/dxn [(x2-1)n]

Ik moet nu eerst aantonen dat dat (Ln,xk) = 0 voor 0 kn.

en vervolgens afleiden dat

(L0,L1,...,Ln) een orthogonale basis van Pn (de set van alle reele polynomen van graad n (of lager)) is.

Het eerste deel van de vraag ben ik in staat op te lossen. We bepalen

(Ln,xk) = -11Lnxk dx

door telkens partieel te integreren totdat die xk helemaal weg is.

Mijn probleem is dat ik nu niet zie hoe hieruit volgt dat
(L0,L1,...,Ln) een orthogonale basis van Pn hoewel ik eerder al wel heb aangetoond dat het een basis van Pn is.
Naar mijn gevoel volgt het orthogonale gedeelte niet uit het bovenstaande maar zou men bijvoorbeeld moeten aantonen dat

(Lm,Ln)=0

wanneer m n. Er wordt echter duidelijk gesuggereerd in de vraagstelling enkel het bovenstaande te gebruiken en daar zit dan ook mijn probleem.

Ik vermoed hierover verder nog het volgende: ik denk dat het iets te doen heeft met het feit dat de basis (L0,L1,...,Ln) zoals hier gegeven geordend is.
Ik zie bijvoorbeeld wel hoe uit het bovenstaande volgt dat Ln ^ xk maar niet dat Ln ^ Lk omdat Lk in het algemeen niet enkel uit de term xk bestaat maar ook andere termen kan hebben van een macht lager dan k.

Wel dit is tot nu toe hoever ik zelf ben gekomen. Ik hoop dat jullie me hiermee verder op weg kunnen helpen.
Alvast bedankt,

Herman
Student universiteit - donderdag 21 februari 2008

Antwoord

Lk is een polynoom van graad k; als nu, bijvoorbeeld, mn schrijf dan Lm(x)=a0+a1x+...+amxm. Dan volgt dat (Ln,Lm) = a0(Ln,1) + a1(Ln,x) +...+ am(Ln,xm) = ...

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 21 februari 2008



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2023 WisFaq - versie 3