De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Bewijs determinant van scheefsymmetrische matrix is 0

Een vierkante matrix A is scheefsymmetrisch.
Dus At= -A
Ik moet aantonen dat de determinant van een scheefsymmetrische 3X3 matrix gelijk is aan nul. En onderzoeken of dit ook geldt voor 2X2 matrix.

Ik had als matrix A genomen:
a b c
d e f
g h i

At=
a d g
b e h
c f i

Omdat A scheefsymmetrisch is geldt At = -A
Nu had ik de determinant van At berekent en van -A. Maar ik kom niet aan nul.

Kan iemand me even helpen. Ik zit toch dicht in de buurt niet?

Alvast bedankt.

vicky
Student universiteit BelgiŽ - dinsdag 15 januari 2008

Antwoord

Je weet dat At=-A, dus kan je element per element nagaan wat de gevolgen daarvan zijn, je krijgt dan:
a=-a
b=-d
c=-g
d=-b
e=-e
f=-h
g=-c
h=-f
i=-i

Dus a=e=i=0; b=-d; c=-g; f=-h.

Je matrix A ziet er dus als volgt uit:
0 b c
-b 0 f
-c -f 0

En de determinant daarvan is makkelijk te berekenen en is inderdaad 0: vb met de 'regel van Sarrus':
0∑0∑0+b∑f∑(-c)+c∑(-b)∑(-f)-c∑0∑(-c)-b∑0∑(-b)-f∑0∑(-f)=0.

Een andere, elegantere manier (want zonder gedoe met elementen) is de volgende:
det(A)=det(At)=det(-A)=(-1)3det(A)=-det(A) dus det(A)=0.
De eerste gelijkheid is een welbekende eigenschap, de tweede gelijkheid geldt omdat A scheefsymmetrisch is, de derde stap kan je zetten omdat je van -A naar A gaat, dus je doet drie keer een rij maal -1, dus je determinant gaat maal (-1)∑(-1)∑(-1). Dit bewijs is dus geldig voor alle n∑n-matrices met n oneven. Voor n even moet je dus nog iets anders verzinnen...

Groeten,
Christophe.

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 15 januari 2008
 Re: Bewijs determinant van scheefsymmetrische matrix is 0 



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2023 WisFaq - versie 3