De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Cauchy produkt

Het gaat over power series in powers of x (de nederlandse vertaling weet ik niet zo goed).
Dat is de som van n=0 naar oneindig van an(x-c)n =a0+a1(x-c)+a2(x-c)+...
In mijn opgave is dit de vraag: Bepaal het Cauchy product van de series 1+x2+x3+... en 1-x+x2-x3+.... Op welk interval en naar welke functie convergeert de product series?

Wanneer je deze twee functie vermenigvuldigt mag je de eigenschap gebruiken dat de termen van de product series gelijk zijn aan de som van j=0 naar oneindig van aj.bn-j. Dus de jde term van de eerste term moet vermenigvuldigd worden met de n-jde term van de tweede rij.
De termen van de eerste rij zijn allemaal 1 en de termen van de tweede rij (-1)n. Maar wat wordt nu het product?

Helma
Student universiteit - dinsdag 15 januari 2008

Antwoord

Helma,
Het gaat ongeveer als volgt.Neem a(n)=x^n,n=0,1,2,...en b(n)=(-x)^n,en
c(n)=a(k)b(n-k),k=0,1,..,n.Dan is c(n)=x^n/2{1-(-1)^(n+1)}.Dan is
c(n)=1+x2+x4+...= 1/(1-x2),voor |x|1.Dit klopt ook omdat
a(n)=1/(1-x) en b(n)=1/(1+x,beide voor |x|1.En de Cauchy rij heet dan als uitkomst het product van de uitkomsten van de twee afzonderlijke rijen.

kn
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 15 januari 2008
 Re: Cauchy produkt 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3