De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Priemgetal

Hoi,

Mijn vraag luidt als volgt:

laat a, b en c gehele getallen ongelijk aan nul zijn met 'a is niet gelijk aan c' zo dat:

(a/c)=(a+b)/(c+b).

Bewijs dat a+b+c geen priemgetal is.

A.G.
Student universiteit - woensdag 13 november 2002

Antwoord

Hoi,

Uit je voorwaarde voor a/c haal je dat b2=ac
(ook omdat a en c verschillend zijn).

Dus:
a2+b2+c2=
a2+ac+c2=
a2+2ac+c2-ac=
(a+c)2-b2=
(a+c+b)(a+c-b) [1]

We nemen b0 (voor b0 rekenen we verder met -b)

In [1] is a+b+c>1
We bewijzen nog dat a-b+c>1.

Stel s=a+cb+1
a en c zijn dan oplossingen van
X2-sX+p=0 met p=ac=b2
a en c bestaan enkel als s2-4p0 of als s24ac=4b2 of als s2b.

Nu is per aanname sb+1. Dus moet b+12b of b1. Dus moet b=0 of b=1. Voor b=0 moeten a of c 0 zijn, wat niet kan, voor b=1 moeten a=c=1, wat ook niet kan.

De veronderstelling is dus vals. En dus: a-b+c>1.

[1] stelt dus een ontbinding voor van a2+b2+c2 dat daarmee geen priemgetal kan zijn. QED.

Groetjes,

Johan

andros
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 13 november 2002
  Re: Priemgetal  



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3