De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Integralen van goniometrische functies

Hoe bereken je
1. Údx/(1-2sin2x)2
2. wat gaat er bij deze opgave verkeerd? ik kan mijn fout maar niet vinden...
Ú(e...÷(x)sin÷(x))/(÷(x))dx
t= ÷x dt=1/2÷x
geeft: 2Ú(e...(t)sint)dx
met u= e...t du= e...tdt
en dv= sintdt v=-cost
geeft:
-2e...(t)cost+2Úe...(t)costdt
met u=e...t du=e...tdt
dv=costdt en v=sint
geeft -2e...(t)+2e...(t)sint-2Úe...(t)sintdt=2Úe...(t)sintdt

het zou moeten zijn: -e...(t)cost+e...(t)sint

hoe kan dat?

bedankt

Lien
Student universiteit BelgiŽ - maandag 3 december 2007

Antwoord

Als we dan toch bezig zijn...

1. Die is precies iets lastiger dan die andere opgaven: als je de 't-formules' al gezien hebt kan je die gebruiken, die komen neer op de substitutie t=tg(x/2). Als je die nog niet gezien hebt kan je natuurlijk moeilijk spontaan op die substitutie komen. Dan kan je wel de dubbelehoekformule gebruiken: 1-2sin2x=1-sin2x-sin2x=cos2x-sin2x=cos(2x). Je krijgt dus een cos2 in de noemer, dat herken je allicht als een basisintegraal.

2. Je komt correct op 2Úetsin(t)dt (noem deze I). Dat is ook min of meer een klassieker, je doet twee keer partiŽle integratie om opnieuw op deze integraal uit te komen: (je keuzes voor u en v waren juist)
I = -2etcos(t)+2Úetcos(t)dt
= -2etcos(t)+2etsin(t)-2Úetsin(t)dt
= -2etcos(t)+2etsin(t)-I
Breng nu die I uit het rechterlid naar links, je krijgt
2I = -2etcos(t)+2etsin(t)
Dus I = -etcos(t)+etsin(t)

Deze techniek (door twee keer partieel afleiden uitkomen dat I = ... - I waaruit volgt dat I = 1/2(...) ) werkt juist omdat het afleiden van een exponentiŽle functie opnieuw een exponentiŽle geeft, en omdat het afleiden van een sinus een cosinus, en na nog eens afleiden opnieuw een sinus geeft. Deze techniek zal je dan ook alleen kunnen toepassen om de integraal te berekenen van een exponentiŽle maal een goniometrische functie. Het kan een goeie oefening zijn om eens Úe2xcos(3x)dx te berekenen.

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 4 december 2007



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb