De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Bewijs dmv inductie

Gegeven: n is een natuurlijk getal en a is een getal bestaande uit 3n cijfers (bijvoorbeeld als n=1: 222, 555).
Te bewijzen: a is deelbaar door 3n.
Hoe bewijs ik dit?
Bedankt!

Mark
Student hbo - maandag 29 oktober 2007

Antwoord

Al die getallen zijn van de vorm m.(111...111)=m.(1/9)(10^(3^n)-1). We proberen te bewijzen dat (1/9)(10^(3^n)-1) deelbaar is door 3^n.

Stel dat die stelling klopt voor n=k, bekijk dan eens de volgende uitdrukking:

(1/9)(10^(3^(k+1)-1)
=(1/9)((10^(3^k))^3-1)
=(1/9)[10^(3^k)-1][(10^(3^k))^2+10^(3^k)+1]

De eerste factor is dan deelbaar door 3^k. Waarom is de tweede factor deelbaar door een extra 3? Maak je het bewijs zelf af?

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 30 oktober 2007



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3