De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Bewijs met polynoom

Hoi, kunnen jullie me een tip geven bij deze vraag?

Zij P(x) een polynoom van graad n 1 met gehele coŽfficiŽnten
en zij k een positief geheel getal (k 0). Beschouw het polynoom
Q(x) = P(P(. . . P(P(x)) . . .)),
waarin P precies k keer voorkomt.
Bewijs dat er ten hoogste n gehele getallen t zijn zodanig dat Q(t) = t.

Alvast bedankt.

Kevin
3de graad ASO - vrijdag 26 oktober 2007

Antwoord

Beste Kevin,
Als ik het goed begrijp gaat het om een recursieve functie.
De recursie vergelijking is dan:
u(t)=P(u(t-1))
Je zou hiervan een web-grafiek kunnen tekenen.
Na k stappen moet je dan op de lijn u(t)=u(t-1) uitkomen.
Als de grafiek van de polynoom de lijn y=x snijdt zal de uitkomst van u(n) niet meer veranderen.
Als P(t)=t geldt dan ook Q(t)=t en zijn er precies evenveel oplossingen als snijpunten van het polynoom met de lijn y=x. We weten dat dat er maximaal n zijn.

Ik had de vraag niet goed gelezen. Dankzij collega cl heb ik verder gezocht wat er gebeurt als als P(t) niet gelijk is aan t:

Je kan bewijzen dat van een polynoom met gehele coefficienten geldt:P(a)-P(b) is deelbaar door a-b.
Als we beginnen met x=x0, en P(x0)=x1, P(x1)=P(P(x0)=x2, enz., dan krijg je de rij:
x0,x1,x2,....xk=x0
Bekijk ook de rij
x0-x1, x1-x2, ....,xk-x(k+1) =x0-P(x0),P(x0)-P(x1),...
Elke term is een deler van de daar op volgende term:
c1∑c2∑c3∑..∑(x0-x1)=xk-x(k+1)=x0-x1
De laatste term is weer gelijk aan de eerste, zodat volgt dat c1∑c2∑c3∑....=1. Al die factoren zijn dus 1 of -1.
In de rij x0,x1,x2,....,x(m-1),xm,x(m+1),....
is xm de kleinste van de rij.
Dan geldt: x(m-1)-x(m)>0 en x(m)-x(m+1)<0 . Dan volgt:
x(m-1)-x(m)=-(x(m)-x(m+1)), zodat x(m-1)=x(m+1)
Het blijkt nu dat de rij x0,x1,x2,... een alternerende rij is: a,b,a,b,a,b,.... of: c,d,c,d,...
Nu geldt:
c-a=P(d)-P(b)=c1∑(d-b)
d-b=P(c)-P(a)=c2∑(c-a)
c-b=P(d)-P(a)=c3∑(d-a)
d-a=P(c)-P(b)=c4∑(c-b)
Net als bij de rij van de verschillen van de x-waarden geldt hier ook dat c1∑c2∑c3∑c4=1, dus alle factoren zij 1 of -1.
Dus c-b=d-a of a-d en c-a=d-b of b-d.
Dit combineren geeft a=b, maar dan geldt P(a)=a, of a+b=c+d.
Dan geldt: a+b-c-c=0, of a+b-c-P(c)=0
P(c) is een polynoom van graad n, dus a+b-c-P(c) ook.
Die vergelijking heeft dus maximaal n oplossingen voor c.
En dat wilden we toch bewijzen!

Almet al niet zo eenvoudig!
Zie ook:
http://imo2006.dmfa.si/imo2006-solutions.pdf

ldr
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 28 oktober 2007



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3