De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Oneindige kettingbreuken

ck = pk / qk waar pk en qk positieve gehele getalen zijn met geen gemeenschappelijke
factoren. Dan:

pk = akpk-1 + pk-2
qk = akqk-1 + qk-2 ; k groter dan of gelijk aan 2

TE BEWIJZEN:
Als c = [a0; a1, ... , an , ...] een oneindige kettingbreuk is met an groter dan of gelijk aan 1 (voor alle n), dan is qk groter dan of gelijk aan k
(en volgt dat qk divergeert naar + oneindig.

BEWIJS:
Uit het gegeven is op te merken dat qk minimaal is voor an = 1. In dat geval hebben we:

qk = qk-1 + qk-2

Deze verschil vergelijking lossen we op door een oplossing qk =Ak te proberen waarbij A een constante is die nader bepaalt moet worden:

Ak = Ak-1 + A^(k-2)

wat te vereenvoudigen is tot

1 = 1/A + 1/A2 A2 - A - 1 = 0

Er volgt dat A1 = (1 + 5)/2 of A2 = (1- 5)/2

Er volgt dat de algemene oplossing is:

qk = B1(A1)k + B2(A2)k

Verder weten we dat q0 = a0 en q1 = a0 + 1/a1 = (a0a1+1)/a1

Dus hebben we de vergelijkingen

q0 = a0 = B1 + B2
q1 = (a0a1+1)/a1 = B1 A1 + B2 A2

Dit oplossen geeft:

A1 = a0 - ((a0a1+1_/a1)-B1a0)/(B2-B1))
A2 = (a0a1+1_/a1)-B1a0)/(B2-B1)

En nu zit ik vast. Ik wilde aantonen dat qk exponentieel toeneemt met k en dat er dan volgt er dat qk is groter dan gelijk aan k echter
van de expressies van A1 en A2 volgt niet dat deze per se groter zullen zijn dan 1 end at qk dus steeds groter word. Sowieso heb ik ook niet echt
het idee dat ik iets rigoreus aan het bewijzen ben ...

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen

vriendelijke groet

Herman
Student universiteit - dinsdag 16 oktober 2007

Antwoord

Je minimale q's vormen een rij die aan de Fibonacci-recursie voldoet; als je ook nog zo klein mogelijk begint: q0=1 en q1=1 dan krijg je de Fibonacci-rij en die voldoet aan qkk voor alle k. Verder is |A2|1 en A11, dus de qk gaat lijken op (A1)k en dat geeft exponentiele groei

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 17 oktober 2007
 Re: Oneindige kettingbreuken 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3