De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Deelbaarheid van n13-n door 2730

Hey, ik heb een probleempje:

Ik moet bewijzen dat voor elk natuurlijk getal n, (n13-n) deelbaar is door 2730.

Ik heb al gevonden dat (n13-n)=n(n6+1)(n-1)(n2-n+1)(n+1)(n2+n+1), en dat 2730 = 2򉁭򊐙3. Maar wat moet ik nu doen?

Alvast bedankt,

Jeroen
3de graad ASO - maandag 15 oktober 2007

Antwoord

Dag Jeroen,

Je ontbinding klopt en kan je ook wel gebruiken. Je moet aantonen dat n13-n steeds deelbaar is door 2, en door 3, en door 5, en door 7, en door 13. Ik zal het eens voordoen voor deelbaarheid door 5, dan zal je de andere ook wel kunnen.

Ik onderscheid vijf gevallen, naargelang wat de rest is van n bij deling door vijf:

- Stel dat n een vijfvoud is. Dan zorgt de factor n ervoor dat heel de uitdrukking deelbaar is door vijf.
- Stel dat n een vijfvoud plus 殚n is: n=5k+1. Dan n-1=5k dus de factor n-1 zorgt ervoor dat heel de uitdrukking deelbaar is door 5.
- Stel dat n een vijfvoud plus twee is: n=5k+2. Dan n6+1=(5k+2)6+1=56k6+6552+155422+...+26+1 = een vijfvoud plus 65 dus heel de uitdrukking is deelbaar door 5.
- Stel dat n een vijfvoud plus drie is: n=5k+3. Dan n6+1=(5k+3)6+1=56k6+6553+155432+...+36+1 = een vijfvoud plus 730 dus heel de uitdrukking is deelbaar door 5.
- Stel dat n een vijfvoud plus vier is: n=5k+4. Dan n+1=5k+5 dus de factor n+1 zorgt ervoor dat heel de uitdrukking deelbaar is door 5.

Dit kan je dus nog doen voor de andere delers. Vooral voor 13 is dat behoorlijk wat werk, al kan je daar wel uitpakken met een chic resultaat: de zogeheten 'kleine stelling van Fermat' garandeert dat np-n altijd een p-voud is als p een priemgetal is. Zie wikipedia. Maar dat zal wel buiten het bereik van je cursus liggen :-)

Ik zie niet meteen een snellere of elegantere methode (het zou met inductie kunnen ook maar dat zou gigantisch veel rekenwerk opleveren omdat die 13 toch al een behoorlijk hoge macht is, dus dat kan hier niet de bedoeling geweest zijn).

Groeten,
Christophe.

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 15 oktober 2007
 Re: Deelbaarheid van n13-n door 2730 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3