De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Kettingbreuk met volledige inductie

Bestee wisfaq, ik zit met de volgende vraag.

Gegeven is de ketting breuk c=[1;1,1,1,...]

Ik moet bewijzen dat ck = 1 + 1/ck-1

Ik wil dit bewijzen met volledige inductie maar het lukt niet helemaal (wel, het lukt wel een beetje maar ik heb nog niet echt het gevoel of mijn bewijs voltooid is of dat er nog meer stappen nodig zijn). Mijn bewijs is als volgt:

(1) [Basis stap] voor n = 1 hebben we c1=1+1/c0=1+1/1 = 2
Dus de stelling is correct voor k = 1

(2) [Inductie Hypothese] Neem aan dat de stelling waaris voor k = m

(3) We willen aantonen dat de stelling waar is voor k = m+1
Welnu, voor k = m+1 hebben we:
c_(m+1) = 1+ 1 / c_((m+1)-1) = 1+1/c_m

En dit is correct bij de inductiehyptohese. Daarom is de stelling waar volgens het principe van volledige inductie.

Ik vroeg me af of dit alles is? Het hele bewijs is eigenlijk maar 1 stapje ...

Vriendelijke groet Herman

Herman
Student universiteit - maandag 15 oktober 2007

Antwoord

Daarom ook dat het enorme overkill is om hier concepten als volledige inductie tegen aan te gooien. Waaruit leid je trouwens af dat c_(m+1) = 1+ 1 / c_((m+1)-1) ? Dat is precies wat je moet bewijzen!

Als je het mij vraagt, is wat je moet "bewijzen" gewoon de definitie van wat onder kettingbreuk wordt verstaan, namelijk de limiet van de rij "deelbreuken" die voldoen aan een eigenschap zoals die die je opgeeft.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 15 oktober 2007



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3