De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Een bewijs met inductie?

Ik moet het volgende bewijzen en ik vraag me af of ik hier ook hierop ook bewijs met volledige inductie kan toepassen? Zo ja, hoe dan?

Bewijs dat: de som van "n boven k" vanaf k = 0 tot en met n, is gelijk aan 2n
voor n0

Alvast bedankt!

Selma
Student universiteit - dinsdag 25 september 2007

Antwoord

Beste Selma,

Ja, dat is zelfs een heel mooi voorbeeld voor volledige inductie.
Je wil bewijzen: q52221img1.gif

Het gaat dus om de het totaal aantal combinaties ter grootte 0 t/m n, die je kan kiezen uit n elementen.
Stel dat aantal = a.
Voeg nu een nieuw element toe, zodat je n+1 elementen hebt.
Nu kan je weer dezelfde a combinaties maken als daarnet, met n elementen, maar je kan ook aan elke combinatie dat nieuwe element toevoegen. Daardoor heb je twee keer zoveel combinaties, dus 2a.
Hiermee is bewezen dat als je voor n=p in totaal 2p combinaties hebt, dan zijn er voor n=p+1 in totaal 22p=2p+1 combinaties mogelijk.

Nu nog de inductievoorwaarde: De formule geldt voor n=1. (Laat dat zien).

Een andere manier is door te denken aan de driehoek van Pascal.
Daarin is de gevraagde som de som van de getallen in de ne rij.
Elk element in rij p wordt toegevoegd aan twee elementen in rij p+1, zodat het totaal in die rij twee keer zo groot is als in rij p.

Misschien nog eenvoudiger: In een roosterdiagram zet je op alle roosterpunten het aantal kortste routes naar dat punt vanaf de oorsprong. Dat zijn de binomiaalcoeefficienten.
Op diagonaal p vindt je dan alle termen van jouw som als n=p.Vanuit elk punt op diagonaal p kan je op 2 manieren naar diagonaal p+1 toe, dus daar is het totaal ook twee keer zo groot.

Zie ook: Driehoek van Pascal

Daar wordt eerst het binomium van Newton bewezen en vervolgens:
(1+1)n=jouw som. Kijk maar eens.

Was dat de bedoeling?

ldr
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 25 september 2007



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3