De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Dubbele integraal met behulp van poolco÷rdinaten

Hallo,

Als ik $\int{\int{}}$((x2)/(√((x2+y2)3))dxdy beschouw met het gebied D tussen de parabool y2=x en de cirkel x2+y2=2 en ik wil een transformatie doen naar poolco÷rdinaten dan krijg ik voor de dubbele integraal (na vermenigvuldiging met de jacobiaan van de transformatie) (cos($\theta$))2 dr d$\theta$.

Als ik nu herhaalde enkelvoudige integratie wil toepassen hoe moet ik dan mijn gebied opsplitsen en hoe kan ik mijn onder- en bovengrenzen voor $\theta$ en r bepalen?
Ik heb vaak het probleem om de ondergrenzen en de bovengrenzen te bepalen.

Alvast bedankt,

Jeremy Ramaekers

Jeremy
Student universiteit BelgiŰ - maandag 30 juli 2007

Antwoord

Hallo Jeremy,

De grenzen van het gebied worden gegeven door de vergelijking van een cirkel en van een parabool. De cirkel in poolco÷rdinaten omgezet, wordt r2=2. De parabool: y2=x wordt r2 sin2$\theta$ = r cos$\theta$, dus r=0 of r=cos$\theta$/sin2$\theta$.

Om nu het gebied te beschrijven kan je nu best eerst een schets maken: de cirkel heeft de oorsprong als middelpunt, de parabool ligt horizontaal (eerste en vierde kwadrant) met de top in de oorsprong.

Het is meestal eenvoudigst om na te gaan welke r-grenzen er horen bij bepaalde $\theta$-waarden. Op je schets zie je dat:
- voor $\pi$/2 $<$ $\theta$ $<$ 3$\pi$/2 zit je nooit in het integratiegebied
- voor $\theta$ dicht bij nul (dus in de buurt van de rechter-x-as) loopt het gebied tot op de cirkel,
- voor andere $\theta$ loopt het gebied slechts tot op de parabool.

Dan moet je natuurlijk exact uitzoeken waar de overgang ligt tussen dit tweede en derde geval, met andere woorden bij welke $\theta$ snijden cirkel en parabool elkaar? Daar geldt dat r2=2 en r2sin2$\theta$=rcos$\theta$. Los op (gebruik cos2+sin2=1), je komt uit op $\theta$=$\pi$/4 of 7$\pi$/4.

Samengevat:
- voor $\theta$ gaande van $\pi$/4 tot $\pi$/2 moet r lopen van 0 tot op de parabool, dus van 0 tot cos$\theta$/sin2$\theta$
- voor $\theta$ gaande van 0 tot $\pi$/4 moet r lopen van 0 tot op de cirkel, dus van 0 tot √2
- voor $\theta$ gaande van 7$\pi$/4 tot 2$\pi$ moet r lopen van 0 tot op de cirkel, dus van 0 tot √2
- voor $\theta$ gaande van 3$\pi$/2 tot 7$\pi$/4 moet r lopen van 0 tot op de parabool, dus van 0 tot cos$\theta$/sin2$\theta$

En vermits het integrandum cos2$\theta$ niet verandert als $\theta$ van teken verandert, zal de bijdrage van het vierde kwadrant (dus derde en vierde stuk hierboven), hetzelfde zijn als de bijdrage uit het eerste kwadrant (eerste en tweede stuk hierboven).

NB het berekenen van het snijpunt van cirkel en parabool kan je natuurlijk ook eerst in cartesische co÷rdinaten doen, je krijgt de punten (1,1) en (1,-1), wat in poolco÷rdinaten inderdaad r=√2 en $\theta$=▒$\pi$/4 geeft.

Groeten,
Christophe.

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 30 juli 2007



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb