De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Co÷rdinaten voor Drievoudige integratie

Ik wil onder andere het volume berekenen van een figuur met vergelijking x2 + y2 + z2 = 22 (een bol dus met straal 2) en met grenzen z = 0 en z = 1.

Het berekenen zelfs zal wel geen probleem geven, maar ik heb wel wat problemen bij de co÷rdinaten.
Volgens mij zijn de cilinderco÷rdinaten devolgende:
0 = q = 2p
0 = r = Í(22 - z2)
0 = z = 1

Klopt dit? En wat zijn dat de bolco÷rdinaten hiervoor wat daar geraak ik niet aan?

Alvast bedankt,
Kevin

Kevin
Student Hoger Onderwijs BelgiŰ - dinsdag 5 juni 2007

Antwoord

Dag Kevin,

Je cilinderco÷rdinaten zijn correct.
Bolco÷rdinaten zijn lastiger voor dit probleem, omdat het niet in ÚÚn keer kan. De drie co÷rdinaten zijn nu r (wordt soms ook r genoemd en is de afstand van een punt tot de oorsprong), q (een hoek in het xy-vlak, net als bij cilinderco÷rdinaten), en j (de hoek die gemaakt wordt met de z-as).

q gaat duidelijk volledig rond, dus van 0 tot 2p.
j gaat van 0 tot p/2, want voor elk van die j-waarden zijn er punten aanwezig die je moet meerekenen in je volume.
En dan het lastigste: hoe ver loopt r? Wel, r begint duidelijk altijd bij nul. Maar voor kleine j-waarden (dus steil omhoog) kom je eerst het vlak z=1 tegen, en dan pas de bolrand. Dus moet je integreren tot z=1, vertaald in bolco÷rdinaten (met z=rcosj) heb je dus r=0 tot 1/cosj.

Echter, voor grotere j-waarden (dus minder steil omhoog) kom je, als je r laat lopen, eerst de bolrand tegen en dan pas het vlak z=1. Dus moet je integreren tot aan de bolrand, dus r loopt van 0 tot 2.

En waar (dus bij welke j) ligt de scheidingslijn tussen deze twee gebieden? Wel, dat is z=rcosj=1 snijdt met r=2, dus bij j=p/3.

Je krijgt dus twee stukken:
r : 0 - 1/cosj
j : 0 - p/3
q : 0 - 2p

en

r : 0 - 2
j : p/3 -p/2
q : 0 - 2p

Reken beide integralen uit (je komt uit op p + 8p/3) (vergeet de jacobiaan r2sinj niet natuurlijk)

Lukt het zo?

Groeten,
Christophe.

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 5 juni 2007



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb