De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Absoluut Continu

Hallo wisfaq,

Ik wil graag het volgende aantonen:

(1)Als F(x)=int{f(y)dy}(integraal van a...x) met f (Lebesgue) integreerbaar, dan is F absoluut continu.

Deze feit volgt uit de volgende stelling maar ik weet niet precies hoe ik dat moet bewijzen,

(2)Stelling.Stel dat f (Lebesgue) integreerbaar is op Rd.Dan geldt voor iedere eps0:
Er bestaat een delta0 zodat int{|f|}eps (integraal over E) als m(E)delta.
E is een deelverzameling van Rd.

Zelf heb ik het volgende:
Ik moet dus aantonen dat F AC is, ik moet dus het volgende aantonen: voor iedere eps0 bestaat er een delta0 zodat als som{(bk-ak)delta dan som{|F(bk)-F(ak)|}eps.De sommen lopen van k=1...N.De intervallen (ak,bk) zijn disjunct.

Bewijs
Neem aan dat F(x)=int{f(y)dy} met f Leb. integreerbaar.Nu volgt uit (2) dat er voor ieder eps0 er een delta0 bestaat zodat int{|f|}eps als m(E)delta.
Maar hoe moet ik nu verder?

Groeten,

Viky

viky
Student hbo - woensdag 18 april 2007

Antwoord

Je bent er eigenlijk al; de delta die je hebt werkt: stel som(bk-ak)delta, dat betekent hetzelfde als m(E)delta, waarbij E de vereniging van de intervallen [ak,bk] is. Dus is de integraal van |f| over E kleiner dan epsilon; die integraal is weer de som van de integralen van |f| over de intervallen [ak,bk]. Tenslotte geldt voor elke k dat |F(bk)-F(ak)| (dat is de absolute waarde van integraal van f over [ak,bk]) kleiner dan of gelijk is aan de integraal van |F| over [ak,bk]. Dus som (|F(bk)-F(ak)|) is kleiner dan epsilon.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 19 april 2007



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3