De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Omwentelingslichaam

Weet er iemand hoe je de volgende integraal moet oplossen, dus wat is de uitkomst, ik geraak er echt niet aan uit, kheb al verschillende methodes uitgeprobeerd, maar de opgave komt steeds moeilijker, of verdwijnt als ik wil 'terugkeren naar de opgave' met partile integratie.

∫ {л [e-x sin(x)]2 } met ondergrens 0 en bovengrens л (=pi)

Dus in woorden de bepaalde integraal van het product van pi en het kwadraat van het product van e tot de -x en sinus x

Merci

Edit: voor de nieuwsgierigen het gaat over een vraagstuk waarbij je de grafiek e-x sin(x) moet wentelen rond de x-as en de inhoud berekenen van dit lichaam van 0 tot pi, daarvoor moet je dus de integraal berekenen van pi maal het kwadraat van de functie

Jote
3de graad ASO - woensdag 24 januari 2007

Antwoord

ik help je een eindje op weg met de primitieve van
(e-x.sinx)2

(e-x.sinx)2 = e-2x.sin2x
tevens geldt dat cos2x = cos2x-sin2x = 1-2sin2x
dus sin2x = 1/2-1/2cos2x

hieruit volgt dat
e-2x.sin2x = e-2x.(1/2-1/2cos2x)
= 1/2e-2x - 1/2cos2x.e-2x

(e-x.sinx)2dx = 1/2e-2x - 1/2cos2x.e-2xdx
= [-1/4e-2x] -1/2cos2x.e-2xdx

we focussen ons nu even op die laatste integraal:
cos2x.e-2xdx (partieel integreren)
= [-1/2cos2x.e-2x] - sin2x.e-2xdx
= [-1/2cos2x.e-2x] - {[-1/2sin2x.e-2x]+cos2x.e-2xdx
= [-1/2cos2x.e-2x] + 1/2sin2x.e-2x] - cos2x.e-2xdx
... maar nu lijkt het alsof we weer terug bij af zijn want we hebben nu uiteindelijk weer een integraal met cos2x.e-2x erin, waar we ook mee begonnen waren.
De uitweg is door de eerste en de laatste stap van de vergelijkingen aan elkaar gelijk te stellen:
cos2x.e-2xdx = [-1/2cos2x.e-2x] + 1/2sin2x.e-2x] - cos2x.e-2xdx
2.cos2x.e-2xdx = [-1/2cos2x.e-2x] + 1/2sin2x.e-2x]
cos2x.e-2xdx = 1/2.[-1/2cos2x.e-2x] + 1/2sin2x.e-2x]
= [-1/4cos2x.e-2x+1/4sin2x.e-2x]

hieruit volgt dus dat
(e-x.sinx)2dx =
[-1/4e-2x] - 1/2[-1/4cos2x.e-2x+1/4sin2x.e-2x]
= [-1/4e-2x +(1/8)cos2x.e-2x-(1/8)sin2x.e-2x]
= (1/8)e-2x(cos2x - sin2x -2)

Nu is het alleen nog maar een kwestie van integratiegenzen invullen.

groeten,
martijn

mg
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 24 januari 2007



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb