De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Er zijn evenveel rationale als natuurlijke getallen

hallo,
Gisteren stelde ik een vraag hoe ik kon bewijzen dat er evenveel natuurlijke als rationale getallen zijn. Maar ik zoek eigenlijk een bewijs met symbolen en getallen. Een relatie tussen beide verzamelingen met symbolen. Met koppels of zo bijvoorbeeld. Kan mij hier iemand antwoord op geven?

Dank u wel!

peter
3de graad ASO - vrijdag 18 oktober 2002

Antwoord

Hoi,

Als je het heel formeel wil, dan moet de de bijectie definiŽren die een rationaal getal p/q afbeeldt op n (en omgekeerd).

Welnu, we definiŽren een tabel A met element aij=i/j op de i-de rij en de j-de kolom.
We zien dat op de k-de stijgende diagonaal precies k elementen aij liggen met de eigenschap i+j=k+1.
Boven de k-de diagonaal liggen er dus 1+2+..+(k-1)=k.(k-1)/2 elementen.

Het bewijs suggereert om de elementen te tellen volgens een 'slangenpatroon':
- op de k-de diagonaal met k even tellen we van rechtsboven naar linksonder.
- op de k-de diagonaal met k oneven tellen we van linksonder naar rechtsboven.

Dus:
Een rationaal getal p/q ligt op de (p+q-1)de diagonaal.
Er zijn (p+q-1)(p+q-2)/2 rationale getallen die op een lagere diagonaal liggen.
Voor p+q oneven is p/q het q-de element op de diagonaal en krijgt dus nummer n(p/q)=(p+q-1)(p+q-2)/2+q.
Voor p+q even is p/q het p-de element op de diagonaal en krijgt dus nummer n(p/q)=(p+q-1)(p+q-2)/2+p.
Hiermee hebben we een eenduidige afbeelding van p/q op n.

Bv.: p/q=2/3
p+q=5 is oneven, dus n(2/3)=4.3/2+3=9
Bv.: p/q=2/4
p+q=6 is even, dus: n(2/4)=5.4/2+2=12

Nu moeten we nog bewijzen dat we van n ook naar p/q kunnen op een eenduidige manier.
Welnu: n ligt op de k-de diagonaal waarbij k het kleinste getal is waarvoor k.(k-1)/2>=n. Aangezien k.(k-1) strikt stijgend is, is k eenduidig bepaald. Hiermee moet dus p+q=k+1.
- Als k even is, dan moet n in de k(k-1)/2-n+1 de kolom. Dus: q=k(k-1)/2-n+1 en p=k+1-q
- Als k oneven is, dan moet n in de k-k(k-1)/2+n de kolom.
Dus: q=k-k(k-1)/2+n en p=k+1-q
Zodat voor elke n we eenduidig p en q en dus p/q kunnen bepalen.

Hiermee is de stelling bewezen...

Zonder die slangbeweging, maar met telling volgens zelfde richting op diagonalen is het iets eenvoudiger...

Groetjes,
Johan

andros
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 18 oktober 2002



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3