WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Dubbele eigenwaarden

Ik zit met een probleem met het oplossen van dubbele eigenwaarden.

Een voorbeeld:
A: 2 2 2
2 5 4
2 4 5

Ik zoek eerst de eigenwaarden.
=

- (l- 1)² ( l-10)
Dus je hebt een dubbele eigenwaarde voor l=1
Als je deze wil berekenen
dan zou je moeten komen tot :

l=1

x + 2y+2Z = 0

de eigenvector is : X: 2 of x: 2/V5
-1 -1V5
0 0
l= 1

x + 2y+2Z = 0
2x-x=0 X: 2 X: 2/V45
4 4/V45
-5 -5/V45

Vervolgens moet je nog de eigenvector berekenen voor eigenwaarde 10. Maar mijn vraag is hoe ik aan de vergelijkingen kom van lambda = 1?
Hoe komt men aan de vergelijking 2x-x=0 ?

Jessie
Jessie
Student universiteit België - dinsdag 26 december 2006

Antwoord

Dag Jessie,

Aangezien de eigenwaarde 1 gevonden wordt met multipliciteit 2 (want de factor (l-1) kwam tot het kwadraat voor in de eigenwaardevergelijking), kan je minimaal 1 en maximaal 2 eigenvectoren vinden bij deze eigenwaarde. Nu, als je de matrix bekijkt waarbij je de eigenwaarde 1 aftrekt op de diagonaal, krijg je
1 2 2
2 4 4
2 4 4

Dus de vergelijkingen waaruit je de eigenvectoren haalt, zijn (lees rij per rij af):
x+2y+2z=0
2x+4y+4z=0
2x+4y+4z=0

Dit is natuurlijk drie keer dezelfde vergelijking. Je zoekt hier nu maximaal twee oplossingen van, met die beperking dat ze lineair onafhankelijk moeten zijn (dus geen veelvoud van elkaar), en verschillend van de nulvector. Dat kan je op meerdere manieren doen: een klassieke manier is om één coördinaat nul te stellen. Als je hier bijvoorbeeld x=0 stelt dan hou je nog 2y+2z=0 over, dus heb je bijvoorbeeld de eigenvector (0,1,-1) die je dan kan normeren door te delen door √2. En als je y=0 stelt dan hou je nog x+2z=0 over, dus heb je een eigenvector (2,0,-1), te normeren door te delen door √5. Je zou ook z=0 kunnen stellen, wat je de eenheidseigenvector 1/√5 (2,-1,0) geeft. Twee hiervan, bijvoorbeeld (0,1,-1) en (2,0,-1), zijn duidelijk geen veelvoud van elkaar en zijn dus twee onafhankelijke eigenvectoren bij de eigenwaarde l=1.

Nu is wel duidelijk dat je heel veel keuzes hebt om die eigenvectoren te vinden: in plaats van coördinaten gelijk aan nul te stellen kan je immers net zo goed andere keuzes maken, al krijg je dan vaak wat ingewikkelder getallen. Maar dat kan dus net zo goed...

En dan: hoe kom je aan die 2x-x=0: dat moet 2x-y=0 zijn. Wel, ik vermoed dat het de bedoeling is dat je een orthonormale basis van eigenvectoren bepaalt. Nu is het zo dat eigenvectoren die horen bij verschillende eigenwaarden, altijd orthogonaal staan. Maar als je twee eigenvectoren hebt die horen bij dezelfde eigenwaarde, dan moet je daar zelf voor zorgen. Nu had je al de vector (2,-1,0) gevonden. Je zoekt nu een tweede vector (x,y,z) die ook een eigenvector is bij l=1 (dus x+2y+2z=0), EN die orthogonaal staat op (2,-1,0), wat dus betekent dat het scalair product of inproduct nul is, dus wat betekent dat 2x-y+0z=0.

Dit stelsel van twee vergelijkingen moet je nu oplossen, je krijgt uit de tweede vergelijking dat y=2x en dat invullen in de eerste geeft 5x+2z=0 dus z=-5x/2. Je kan dan een niet-nul oplossing vinden door bijvoorbeeld x=2 te nemen, dat geeft je y=4 en z=-5. Elke andere niet-nul keuze voor x was ook goed geweest. En natuurlijk, als ze orthoNORMAAL moeten zijn dan moet je ze nog normeren, dus delen door de norm en die is hier gelijk aan √(2²+4²+(-5)²)=√(45).

Zo krijg je dus de orthonormale basis, bestaande uit
1/√(5) · (2,-1,0)
1/(3√(5)) · (2,4,-5)
1/3 · (1,2,2)

(die laatste hoort bij de eigenwaarde l=10, en je gaat eenvoudig na dat die inderdaad orthogonaal staat op de twee andere eigenwaarden)

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 26 december 2006